高等数学课后习题答案--第七章.pdf

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1、《高等数学》习题参考资料第三篇多元函数微积分第七章多元函数微分学§1多元函数的极限与连续习题1.当(x,y)→(0,0)时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限3222x+xyx+y（1）;（2）;x2+y222x+y+1−1x2y2+1−12(x+y)（3）;（4）;2222x+yx+y2222−(x+y)x−y（5）(x+y)e;（6）;22x+y2221−cos(x+y)x（7）;（8）.2222x+yx+y−x【答案】(1)0;(2)2;(3)0;(4)不存在;(5)0;(6)不存在;(7)0;(8)不存在.2.求出下列极限⎛11⎞y−⎜+⎟ln(x+e)11⎜x2y2⎟⎝⎠（

2、1）lim;（2）lim(+)e;22(x,y)→(1,0)x2+y2(x,y)→(0,0)xy22222xy−yzxyz（3）lim;（4）lim.(x,y,z)→(1,2,3)xyz−1(x,y,z)→(0,0,0)x2+y2+z28【答案】(1)ln2;(2)0;(3)−;(4)0.53.讨论下列函数在原点O（0，0）处是否连续？⎧1,xy=0,（1）z=⎨⎩0,xy≠0;33⎧sin(x+y)33⎪,x+y≠0,33（2）z=⎨x+y⎪33⎩0,x+y=0;132⎧sin(x3+y3)22⎪,x+y≠022（3）z=⎨x+y⎪22⎩0,x+y=0.【答案】(1)不连续;(2)不连续;

3、(3)连续.4、指出下列函数的连续范围1（1）u=;sinx⋅siny22（2）u=ln(1−x−y);1（3）u=ln.22(x−a)+(y−b)22【解】.(1)在x≠kπ且y≠kπ时函数连续;(2)x+y<1时连续;(3)除了点(a,b)外都连续.25.下列映射f:(x,y)a(u,v)在R的哪个子集上是连续的？221（1）u=x−y,v=;22x−yxy（2）u=,v=.2222x+yx+y【答案】(1)

4、x

5、≠

6、y

7、外连续;(2)x=y=0外连续.§2全微分与偏导数习题1.求下列函数的各个一阶偏导数：323yx（1）z=xy+3xy−xy；（2）z=+；xyyxy（3）z=lnta

8、n；（4）z=x。x13323322y1【答案】(1)z′=3xy+6xy−xy,z′=x+3x−3xy;(2)z′=−+,xyx2xy1xy1z′=−,(3)z′=−,z′=,(4)y2xyyyyyxy2xcossinxsincosxxxxxyxy+1z′=xy(lnx+1),z′=xlnx.xy2.计算下列函数在指定点的偏导数：x（1）z=arcsin,在（1，2）处的zx,zy;y1（2）u=,在（1，2，-1）处的u,u,u；xyz222x+y+z3x+4y（3）u=ecos(2x+5z)在（-2，1，2）处的u,u,u；xyz2⎡x⎤⎛π⎞（4）u=sinx+sin⎢(y−1)ln

9、tan⎥在⎜,1⎟处的u′x。⎣y⎦⎝4⎠112666【解】(1),−;(2)−,−,;312361836−2−2−2(3)(3cos6−2sin6)e,(4cos6)e,(−5sin6)e,⎛x⎞2xcos⎜(y−1)lntan⎟(y−1)sec⎜y⎟y⎝⎠π(4)u'=sin2x+,u'(,1)=1.xx4xxytany3.求下列函数的全微分：22222（1）z=axy+bx;（2）z=tan(x+y);22−y−x（3）z=ln(x+x−y);（4）z=xe+ye;yyt2（5）z=arctan2;（6）z=∫edt.xx222222【答案】(1)(2axy+2bx)dx+axdy;(

10、2)4tan(x+y)sec(x+y)(xdx+ydy);1ydy−y−x−x−y(3)dx−;(4)(e−ye)dx+(e−xe)dy;(5)222222x−yx−y(x+x−y)2−2xyxx2y2dx+dy;(6)−edx+edy.4242x+yx+y⎧122⎪z=(x+y)4.求曲线⎨4在点M0(4,2,5)处的切线关于x轴的倾角，并求该切线⎪⎩y=2的方程。134⎧z−2x+3=0【答案】arctan2;⎨.⎩y=25、讨论下列函数在O（0，0）处的可微性（1）z=xcosy⎧2xy22⎪,x+y≠0,（2）z=⎨x2+y2⎪22⎩0,x+y=0.【答案】(1)不可微;(2)不可微

11、.6、用全微分求下列函数在指定点的近似值22（1）20−x−7y,(1.95,1.08);（2）ln(x−3y),(6.9,2.06).【答案】(1)2.834;(2)-3.2857、测得一矩形的长和宽分别为20cm和12cm，可能的最大测量误差为0.1cm，试用全微分估计由测量值计算出的矩形面积的最大误差.【解】S=xy，dS=ydx+xdy=12×0.1+20×0.1=3.2(cm).8、求下列函数的二阶