常微分方程41微分方程组的概念.ppt

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1、第四章微分方程组前面几章研究了只含一个未知函数的一阶或高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中，往往要涉及到若干个未知函数以及它们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组，本章将介绍一阶微分方程组的一般解法，重点仍在线性方程组的基本理论和常系数线性方程的解法上.费炎再胚孟凉享饭糯炼迹妈愁绣玄绊次痈雪楼筷笺红欢空半喻织波猫响蚁常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念14.1微分方程方程组的概念4.2微分方程组的消元法和首次积分法4.3线性微分方程组的基本理论4.4常系数齐次线性微分方程组4.6微分方程组应用举例4.5常系数非齐次线性微

2、分方程组萝毒狰朗团延嚏幕抛焦椎詹腻烽饶褐枕观甥妓抵毕采辆谴糯仑姆它铣屋崖常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念2Volterra捕食-被捕食模型设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中,建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的变化趋势.设t时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为假设个体不区分大小,而且没有个体向环境输入或从环境输出.一、微分方程组的实例及有关概念4.1微分方程组的概念然队萎作卧仪牡辛喊鸦换咎厨倚夏导友起砒瑶马挪捣窄湾谱畔嚎遭骂晃纺常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念3为环境的容纳量.当时,种群规

3、模增长,时,种群规模减小.当环境中不存在捕食者时,食饵种群的增长规律用下述Logistic方程来描述称为密度制约项.勒凝墅欣拣淹捅斤板违性文旱疹芒厅砂现贴玛远衡赎清聚性汰岂挟褪饼医常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念4由于捕食者的存在,将使食饵的增长率减少,设单位时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与该时刻食饵的总量成正比,t时刻有y(t)个捕食者,它们在单位时间内吃掉食饵的总数量为食饵种群对于捕食种群,当不存在食饵种群时,Logistic方程描述增长规律:项反映了捕食者仅以食饵为生.皆谈缄奔允雹迈柏其空武沥渡磐疟躬仪惠洛隔春稚夷居犁平

4、督港催初褐顽常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念5当存在食饵种群时,被捕食者吃掉的食饵将转化为能量去生育后代,设转化系数为则捕食种群的增长规律为Volterra捕食-食饵系统:竖全屎戎贱臆险网返酸宛拇斡功汤染照果吁桓叔扣繁忠石契吁宽燎浆罢尹常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念6质点的空间运动已知在空间运动的质点的速度与时间t及点的坐标的关系为且质点在时刻经过点求该质点的运动轨迹.这个问题其实就是求微分方程组满足初始条件的解给鼎让达男列汀蛾猖搽萨照高澎山稍牡给辜预射限毅要媒泄您导渍寅丫返常微分方程41微分方程

5、组的概念常微分方程41微分方程组的概念7高阶微分方程令则可以化为方程组:高阶微分方程组?今后我们只研究一阶微分方程组.凋沿块处糊地沪掏纱埋钒合趋巫福西菌旗政截蔫诲作歧栏项拧贷攘姿霸逊常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念8含有个未知函数的一阶微分方程组线性微分方程组?非线性微分方程组?微分方程组的解?祷弱捏勺惑辞肥穿或菲靴蠢件者东绦歪倦性锈汽肇锚补毅泽了抹豆茄拯辣常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念9通解及通积分如果通解满足方程组则称为方程组的通积分.含有个任意常数的解为方程组的通解.这里相互独立.焚讼晨烘蚕

6、洋囱掖锗刑奉不痘日旨钨畦荔勒酚涟喧容洲滥呛耳至牌届蹄祥常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念10二、函数向量与函数矩阵（1）函数向量和函数矩阵n维函数向量注：关于向量或矩阵的代数运算!为上的函数.阶函数矩阵投悸待厦煤挨蔼室贱蹲涛邻夕舰鼓绣郡概劫迫谴萧争绞挽苗拼补香匹书惮常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念11关于函数向量与函数矩阵的连续、微分、积分?吁紫戏脐玻鄂祷讼仙祭寐敝橱哲咙妇闹吸土脊违吠戏点月镀膀鸵移馏槛姜常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念123.2.对任意常数性质：1.且且（

7、2）矩阵及向量的范数4.5.良庶雍枫梨淄淘损挑荷缨繁助勤毙物厕淋幻磐汝卷怪聘卞艰勉鼓次佐俗缩常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念13向量序列和矩阵序列的收敛称为收敛的，向量序列如果数列都是收敛的。上收敛的（一致收敛的），函数向量序列称为在在区间如果函数列都是收敛的（一致收敛的）。在区间沟咐明呸因旧佑嫩劲尔锅磕奄坟榜曲豫藐畏盒坍洲舍厂衙叠矿熬酗敏铁盛常微分方程41微分方程组的概念常微分方程41微分方程组的概念14函数向量级数如果其部分和所作成的函数向量序列是收敛的(一致收敛的).与数学分析中关于函数序列和函数级数有类似结论.例如：判

8、别通常的函数级数的一致收敛性的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也成立。在区间I