高等教育自学考试本科生论文

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1、高等教育自学考试本科生毕业论文目录1引言-4-2求函数最值的几种解法探讨-5-2.1判别式法-5-2.2配方法-6-2.3均值不等式法-6-2.4换元法-7-2.5三角函数法-8-2.6单调性法-9-2.7导数法-9-3求解函数最值时应注意的一些问题-10-3.1注意定义域-10-3.2注意值域-11-3.3注意参变数的约束条件-12-3.4注意对判别式的运用-13-3.5注意均值不等式的运用-13-4函数最值在实际问题中的应用-15-4结论-19-致谢-20-参考文献-21--19-1引言函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分．处理函数最值的过程就

2、是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法．函数最值的定义：一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数在处的函数值是

3、如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作.函数的最值一般有两种特殊情况：（1）如果函数在上单调增加(减少)，则是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值).（2）如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值.-19-2求函数最值的几种解法探讨2.1判别式法对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出的最值.例.求函数的最值.解：因为，所以，而

4、，所以有所以，当时，；当时，.应注意：用判别式法求函数的最值时，是表示或，并非要此二者同时成立.因此，在利用求出的的取值范围：或且中，不能随意断定或，还必须求出与、对应的-19-的值，并将其代入原来的函数中进行验算，只有当、的对应值存在,并满足所求得的不等式时，才能确定为原来函数的最值.2.2配方法如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用此法求解.例.求在区间内的最值.解：配方得,因为,所以，从而当即，取得最大值；当即时取得最小值1.2.3均值不等式法设是n个正数，则有，其中等号成立的条件是.运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是

5、指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件.例.设，求的最大值.解：由，有.又因为==-19-其中当时，上式等号成立，即时成立，故的最大值为.2.4换元法用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看做一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解.例.求函数的最值.解：因为，即给定函数的定义域为：.于是令，.则给定函数可变形为:==2[]-2==-19-而..又因在是增函数，所以其最值在端点处取得.2.5三角函数法如果给定函数，经变形后能化成：或（、是常数）的形式，则由或可知：当或时，（设）当或时，（设）例

6、.求函数的最大值.解：因为=当时，；当时，即，所以，当时，.-19-2.6单调性法当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值．在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况．若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值．若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值[5]．例.设函数是奇函数，对任意、均有关系，若时，且．求在上的最大值和最小值.解：先确定在上的单调性，设任意、且，则.所以有即.所以，在上是减函数.因此，的最大值是;的最小值是.2.

7、7导数法设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值．-19-要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数式的最值，通常都用该方法．导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视．例.求函数，的最大值和最小值．解：求导得.令，方程无解.因为，所以函数在上时增函数.故当时，;当时，.综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活.没有通用的方法和固定模式，在解题时