大一高数复习资料.docx

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1、高等数学第一章函数与极限第一节函数●函数基础（高中函数部分相关知识）（▲▲▲）●邻域（去心邻域）（▲）Ua,x

2、xaoUa,x

3、0xa第二节数列的极限●数列极限的证明（▲）〖題型〗已知数列xn，证明limxnax〖证明〗N语言1．由xna化簡得ng，∴Ng2．即对0，Ng，当nN时，始终有不等式xna成立，∴limxnax第三节函数的极限●xx0时函数极限的证明（▲）〖題型〗已知函数fx，证明limfxAxx0〖证明〗语言1．由fxA化簡得0xx0g，∴g2．即对0，g，当0xx0时，始终有不等式fxA成立，∴limfxAxx0●x时函数极限的证明（▲）〖題型〗已知函数fx

4、，证明limfxAx〖证明〗X语言1．由fxA化簡得xg，∴Xg2．即对0，Xg，当xX时，始终有不等式fxA成立，∴limfxAx第四节无穷小与无穷大●无穷小与无穷大的本质（▲）函数fx无穷小limfx0函数fx无穷大limfx●无穷小与无穷大的相关定理与推论（▲▲）（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，则limfxgx0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为无穷大，则f1x为无穷小；反之，若fx为无穷小，且fx0，则f1x为无穷大〖題型〗計算：limfxgx（或x）xx01．∵fx≤M∴函数fx在xx0的任一去心邻域Ux0,内是有界的；（∵fx≤M，∴函数

5、fx在xD上有界；）2．limgx0即函数gx是xx0时的无穷小；xx0（limgx0即函数gx是x时的无穷小；）x3．由定理可知limfxgx0xx0（limfxgx0）x第五节极限运算法则●极限的四则运算法则（▲▲）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式px、qx商式的极限运算设：pxa0xma1xm1amqxb0xnb1xn1bnnm则有limpxa0nmxqxb00nmfx0gx00gx0fxgx00,fx00limxxx0g0gx0fx000（特别地，当limfx0（不定型）时，通常分gx0xx0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗

6、比达法则求解）〖題型〗求值limx3x3x29高等数学期末复习资料第1页（共9页）〖求解示例〗解：因為x3，从而可得x3，所以原式limx3limx3lim11x3x29x3x3x3x3x36其中x3为函数fxx3的可去间断点x29倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x3解：limx230lim11limx3x9Lx3x29x32x6●连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（▲▲）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那么，limfxflimxxx0xx0〖題型〗求值：limx3x29x3〖求解示例〗limx3limx316x29966x3x3x2第六节极限存

7、在准则及两个重要极限●夹迫准则（P53）（▲▲▲）第一个重要极限：limsinx1x0x∵x0,，sinxxtanx∴limsinx12x0xx1lim1limlimx01sinxx0sinxx0sinxlimxxx0（特别地，limsin(xx0)1）xx0xx0●单调有界收敛准则（P57）（▲▲▲）1x第二个重要极限：lim1exxgxlimgx（一般地，limfxlimfx，其中limfx0）2x3x1〖題型〗求值：limx2x1〖求解示例〗x1x1x1解：2x3lim2x12lim12lim2x12x12x1xx2x12x12x122x12x2x121lim122

8、x1lim122x112x12x12x2x1lim2x12x12x1222limx12x1lim12x12x1e2x1lim2x22x112x1eee第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）●等价无穷小（▲▲）1．U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1U)~eU12．1U2~1cosU2（乘除可替，加减不行）〖題型〗求值：limln1x2xln1xx0x3x〖求解示例〗解：因为x0,即x0,所以原式limln1x2xln1xx0x3xlim1xln1xlim1xxlimx11x0xx3x0xx3x0x33第八节函数的连续性●函数连续的定义（▲）limfx

9、limfxfx0xx0xx0●间断点的分类（P67）（▲）跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）第二类间断点无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）〖題型〗设函数fxe2x，x0应该怎样选axx0择数a，使得fx成为在R上的连续函数？〖求解示例〗f0e20e1e1．∵f0a0af0a2．由连续函数定义limfxlimfxf0ex0x0∴ae高等数学期末复习资料第2页（共9页）第九节闭区间上连续函数的性质●零点定理（▲）〖題型〗证明：方程fxgxC至少有一个根介于a