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《大一高数复习资料【全】.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）O邻域（去心邻域）（★）Ua,x
2、xaoUa,x10xa第二节数列的极限O数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列xn，证明limxnaX【证明示例】N语言1•由Xna化简得ng,Ng2.即对0,Ng。当nN时，始终有不等式Xna成立，limxnax第三节函数的极限OxX。时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数fX，证明limfxAXx01•由fxA化简得0xxgg2.即对寸0,g,当0XX0时,始纟冬有不等式fxA成立，limfxA【证明示例】语言Xx0Ox时函数极限的证明（★）【
3、题型示例】已知函数fX，证明limfxAx【证明示例】X语言1由fxA化简得xg,•Xg2.即对0,Xg，当XX时，始终有不等式fxA成立，•limfxAX第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（★）函数fx无穷小limfx0函数fx无穷大limfxO无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，则limfxgx0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为无穷大，则f1X为无穷小；反之，若fX为无穷小，且fx0,则f1X为无穷大【题型示例】计算:limXX0M•••函数fxX(或X在Xx0的任一去心邻域uX0,内是有界的;M，二函数fx在x
4、D上有界；）2.limgxxX0(^imgx3.由定理可知0即函数gx是xX0时的无穷小;0即函数时的无穷小；）limXX（limfxX第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式px设：qxpx、ma°xb°xnqx商式的极限运算imaiX0Xnbn则有limPannmxqx虬0nmfX00gXgX0fXlimgX0,fxxX0gX00gXfX00（不定型）时，0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）（特别地,limxX0gx通常分【题型示例】求值lim2X3X22112【求解示例】解：因为x3，
5、从而可得x3，所以原xm3limx3x3limx3x其中x3为函数fx二仝的可去间断点x9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x30x311解：lim2limlimx3x9Lx32cx32x6x9O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那么，limfxflimxx§xx0【题型示例】【求解示例】求值:「x3厂__x3limi2“lim—2x3■x9.x3x9第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限:sinxx0,—,sinxxtanx.2sinx解:limx2x32x1limx2x122
6、T2x122xx1lim2x12x2x1~12x1lim」x°sinxlimxosinxlimlx0sinxx（特别地,lim沁xxoxxo)1)XoO单调有界收敛准则（P57)第二个重要极限:limx（一般地，limlimlimgx廿出fx，其中limfx0)【题型示例】求值:limx2x2x1【求解示例】lim2x1lim2x12x2lim2x12x1e2x122x12xlim12x12xlimx12■2T-12limx12x1"2^1e第七节O等价无穷小(★★)U〜sinU〜tanU〜arcsinU〜arctanU1■U1〜e1无穷小量的阶（无穷小的比较）122.1U2~1c
7、osU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：limln1x2xln1xx0x3x【求解示例】~ln(1U)0,所以原式lnlim1x2xln1xx03x1xxx11limlimx0xx3x0x33解：因为x0,即x1xIn1xlimx0xx3第八节函数的连续性O函数连续的定义（★）limfxlimfxfx0xx0xx0O间断点的分类（P67）（★）第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）第二类间断点十宀、m比冲亠无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）2xfxe,x应该怎样选axx0成为在R上的连续函数？【题型示例】设函数择数a
8、，使得【求解示例】e202•由连续函数定义e1elimfxlimfxx0x03f0e第九节闭区间上连续函数的性质O零点定理（★）【题型示例】证明：方程fxgxC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1（建立辅助函数）函数闭区间a,b上连续;2・tab0(端点异号)3.•由零点定理，在开区间a,b0,即f内至少有一点4•这等式说明方程C在开区间a,b【题型示例】求函数f1x【求解示例】由题可得fx上单调、可导，且fx的导数为直接函数，其在定于域D1O复合函数的求导法则（
