第二章Langevin方程与数值模拟.docx

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1、第二章Langevin方程与数值模拟问题：系统的作用量或Hamiltonian量为S平衡态分布为eS，（这里温度已吸收到S）。假设系统t0时处于一初始状态系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。第一节单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程SSxx:实数Langevin方程dxtSxdttx:高斯随机数t0tt2tt对固定t2Pe12tde0ZZde2这里的t通常也是介观时间。如果没有随机力，平衡态为dxtSx，即能量取极小值。dt0x如果存在随机力，体系会被推离能

2、量极小，处于某种能量较高的平衡态。例如：布朗运动——花粉在液体中的运动mdvvtt0dtvttemtt1tdtv0t一维解0memv2t2tt2tttttv20emem2dtdt0mv20e2t2t2ttmm2emdt02t12t如0v20em1emm如02t，这便是随机行走。m2在布朗运动的方程中加入自身的相互作用vvSmdvtvtdtx可以理解为广义的Langevin方程。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。由于随机力的存在，Langevin方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时

3、间分立化在数值模拟中应用较直观t21ttttt，tt0tttZ12=lnZ12∴t4Langevin方程xtxttxtSx(t)tttx令t2∴(t)(t')ttxtSxtttxtt2方程的解xt是随机变量，在数值模拟中给定初始值x0,xt还不确定，与随机力有关。也就是说，在t时刻，x遵从一个分布Px;t。物理量x的平均值xtdxPx;txPx;t是x在t时刻遵从的分布问题：xt的含义？答：必须对t之前的所有随机力做平均。xtxtxt12txx2xtt2xxt2txtSxt2ttxttxt12xtSxt22tt22xtxtt∵xt与t无关，只与tt以及更早的随机力有关x

4、txtSxt∴xxtxtxttt∵t0又∵xt22tt2∴xtS2txxx2S2dxPx;tx2xx2Sdxxx;tx2xPx分步积分还作用于Px;tx这里做分步积分时，假设P(;t)0另一方面xtPx,tdxxttFokker-Planck方程Px;tHFPPx;ttHFPSxxxx当t,Px;t0t∴HFPPx;0显然Px;eSx思考题：试讨论eSx为平衡态的条件第二节多自由度的Langevin方程和自由场SSx这里x是空间指标dx,tSx,tx,tdtx,tx,t0x,tx,t2xxtt时空分立化itiitiij∴tdP∴ttitSjt2tittit0itjtij

5、ttdPi;ti12jijj2ij2SttjjjS2dPi;tiiii2S;tiPiiiii;ti;ttHFPPHFPSiii注意，不仅仅作用于SiP;eS关于KernelitKijS2tittj0itjtKijtt'练习：推导F-P方程，证明平衡态为eS。自由场S0dx121m2222dx,t2m2x,tx,tdt0x,tx,t2xxtt动量变换p14dxxeipx2p14dxxeipx2?p,tp2m2p,tp,t∴tp2m2ttp,tdtp,0ep2m2tp,te0dp,tp2m2tp2m2ttp,0ep2m2tdtep,tdtp,t0p2m2p,tp,t关于K

6、ernel的作用?Kp2m2p,tKp,tp,ttK2m2ttKp22∴p,tpp,tdtp,0emt0eKernel不改变平衡态，但可以改变动力学演化过程。e.g.如p2m20，演化极慢，我们可取K1/(p2m2)，则p,ttttp,tdtp,0ete0这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题，称为Fourier加速法。但在有相互作用时，如何选取K可以达到“加速”的目的，是重合悬而未决的问题。第三节Langevin方程的路径积分表述?Sx,tx,t生成泛函J1JZJde4eABdxdtAx,tBx,tdAdAx,txt对ZJ求J的微商，可以得到任何物理量的平均值。

7、恒等式1d%&S%ddet%&S%AAx,tx,t~为积分变换，det~0对单自由度如果fx,yx0只有唯一解1dxfx,yx这恒等式对任意y成立。作积分变换xx(y)1dydxfx,yxdy在积分号内，y是x的任意函数。但积分后，由于函数的作用，y取fx,yx0的解。关键：令＝~，则积分后~为Langevin方程的解。i.e.x,teJdeJdet&S由于函数的存在，这里的可以看成和无关。1J&Se4ZJdddet12&SJe4ddetA2AA引入辅助场玻色场x,t，费米场cx,t,cx,tZJddeHJ2&S2S