加法原理、乘法原理

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1、加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步3.分类原则：分类要做到“不重不漏”骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法・任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多

2、的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例1.从1开始依次写下去一直到999'得到一个多位数1234567891011121314---997998999，请问：(1)这个多位数一共有多少位？(2)第999位数字是多少？(3)在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？(4)数字0一共出现了多少次？问题(1)这个多位数一共有多少位？[答疑编号5721040101]【答案】(1)2889；(2)9；(3)300；(4)189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数

3、；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2x90=180位；3位数有900个，占了3x900=2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题(2)第999位数字是多少?详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999-189=810位.由8103=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题(3)在这个多

4、位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200-299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类

5、要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的(1—99可以看成百位数为0).考虑第1类1-99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1一99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200

6、—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900-999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20x9+120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题(4)数字0一共出现了多少次？详解4:按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9x10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9x10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99+90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？[答

7、疑编号5721040102]【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5x6x6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有个.[答疑编号5721040103]【答案】162【解答】①个位是2的有9x10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9x4=36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9x4=36个，所以一共有90+36+36=162个符合条