概率论第四章 习题解答

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1、第四章随机变量的数字特征I教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II习题解答A组1、离散型随机变量的概率分布为-202

2、0.400.300.30求、、？解：；；.2、某产品表面瑕疵点数服从参数的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？解：设为产品价格，则、、.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为08100.00140.80880.1898则(元).3、设随机变量的分布函数为.求？20解：由分布函数知的密度函数为则.4、设随机变量服从几何分布，即，其中是常数.求？解：由级数，知.5、若随机变量服从参数为的泊松分布，即求、？解：；.6

3、、某工程队完成某项工程的时间(单位:月)服从下述分布101112130.40.30.20.1(1)求该工程队完成此项工程的平均时间；(2)设该工程队获利(万元).求平均利润？解：(1)(月)；20(2)(万元).7、若随机变量服从区间上的均匀分布，即求、？解：；.8、若随机变量服从参数为的指数分布，即求、？解：；.9、离散型随机变量的概率分布为0263/124/125/12求、？解：；.10、设，求？解：令，由偶函数性质有20.11、设某商品需求量，销售商进货量在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件

4、商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润与、的关系为则利润平均值为由题意知解得，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件发生，则赔偿顾客元.以往资料表明事件发生的概率为.为使公司收益期望值为，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取元保费，公司的收益为元.则按题意解得.13、设随机变量的密度函数为.对进行独立重复观测4次，表示观测值大于的

5、次数，求的数学期望？解：显然，其中是的概率，故20所以则有.14、设随机变量、相互独立，且都服从标准正态分布.求的数学期望？解：由题意知、的联合密度函数为于是令、得.15、已知的分布如下，令，求？05101500.020.060.020.1050.040.150.200.10100.010.150.140.01解：由题设可得的分布为0510150.020.250.520.21.16、设的联合密度函数为20求、、、？解：；；；.17、设随机变量的密度函数为求？解：.18、甲乙二人相约在之间会面，设、分别表示

6、甲乙到达时间，且相互独立.已知、的密度函数为、求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为，由于、的联合密度函数为.19、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求数学期望、？解：设的联合密度函数为，由密度函数性质解出.下面分别求出边沿密度函数20当时，有，故此当时，有当时，有，所以从而；.20、离散型随机变量的概率分布为-2020.400.300.30求？解：由题意易知、，所以.21、设随机变量的分布函数为.求？解：由题意易知的密度函数为，且，则.22、若随机变量服从参数为的泊松分布，

7、求？解：由题意易知、，故20.23、设随机变量的密度函数为求？解：由题意易知，故.24、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求方差、？解：由题意易知、、；.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设表示取出合格品前已取出次品的数目，则0128/1016/902/90故20、所以.26、设随机变量的密度函数为.求、？解：；.27、设为随机变量，证明:对任意常数，有，当时等号成立.证明：由于非负，从而有，且

8、当时.28、设服从(-2，2)上的均匀分布，定义、如下、求？解：先求的分布所以，从而.29、已知、.请估计概率？解：由切比雪夫不等式有20.30、设、、、、，利用由切比雪夫不等式估计概率的上限？解：因为、，所以.31、设、、，求？解：.32、设的联合密度函数为求？解：由题意易知、、，故.33、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求协方差与相关系数？解：由题意易知、、、所以；.2034、设二维随机变量的联合分布为-10