1.1.1 任意角

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1、1.1.1任意角一、角的概念的推广：1.角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形称为角。★所旋转射线的端点叫做角的顶点；★开始位置的射线叫做角的始边；★终止位置的射线叫做角的终边。终边始边顶点2.角的分类：★按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；★按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；★如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。注：1.零角的始边与终边重合。2.如果是零角，那么。3.角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转“方向”，得到正角、负角和零角，由此我们应当意识到角的终

2、边位置的重要性。表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉。箭头方向代表角的正负。4.我们将角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。3.角的表示：★用1个希腊字母表示，如★用3个大写的英文字母表示（字母前面要写“”），其中中间字母表示角的顶点，如αOAB二、象限角与轴线角：使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么就把角放在了平面直角坐标系中。1.象限角：如果角的终边（除原点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。注：象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合。2.轴线角（非象限角）：若角的终边在坐

3、标轴上，就称这个角为轴线角。注：轴线角不属于任何一个象限。xyo60o-120o第一象限角第三象限角试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？xyo三、终边相同的角：1.结论：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合：即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。注：，这个条件不能漏掉。是任意角。与之间用“”连接，如应看成4.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍。相等的角终边一定相同。例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、

4、－940°.例：在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角。解：∴在范围内，与角终边相同的角是它是第二象限角。例2：写出与下列角终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间的角.（1）120°（2)－270°(3）1020°例2：写出终边在轴上的角的集合。解：在范围内，终边在轴上的角有两个，即角。因此，所有与角终边相同的角构成集合：而所有与角终边相同的角构成集合：于是终边在轴上的角的集合：2.终边在象限内的角的表示：(1)终边在第一象限内角的集合：(2)终边在第二象限内角的集合：(3)终边在第三象限内角的集合：

5、(4)终边在第三象限内角的集合：(5)终边在象限内角的集合：3.终边在坐标轴上的角的表示：(1)终边在轴非负半轴的角的集合：(2)终边在轴非正半轴的角的集合：(3)终边在轴上的角的集合：(4)终边在轴非负半轴的角的集合：(5)终边在轴非正半轴的角的集合：(6)终边在轴上的角的集合：(7)终边在坐标轴上的角的集合：例3：写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来。解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是，在范围内，终边在直线上的角有两个：。因此，终边在直线上的角的集合：适合的元素是：∴满足条件的为

6、：例4：已知是第二象限的角，求是第几象限角。解：是第二象限角，则是第三或第四象限角，以及终边落在轴的非正半轴上的角。令，则为第一象限角。令，则为第二象限角。令，则为第四象限角。为第一、第二或第四象限角。总结：1.象限角的判定方法：(1)根据图象判定。利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系。(2)将角转化到范围内。2.确定所在象限的一般步骤：(1)求出的范围；(2)对的取值分情况讨论；(3)下结论。的象限的确定：已知是第几象限角，要确定所在象限的常用方法有两种：方法一：分

7、类讨论。由的范围得到的范围，然后对进行讨论，从而确定所在象限。方法二：所在象限的问题：如图所示，作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则标的数字是几的两个区域，就是为第几象限的角时，的终边落在的区域，所在的象限就可以直观地看出来了。所在象限的问题：如图所示，作出三等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成12个区域，从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则标号是几的区域，就是为第几

8、象限的角时，的终边落在的区域，所在的象限就可以直观地看出来了。一般地，要确定所在的象限，就需要作出等分各象限的从原点出发的射线。例5：写出角的终边在图中阴影区域的角的集合（包括边界）解：总结：1.终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间