微积分复习

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1、第二章经济变化趋势的数学描述一、极限的计算1、代入法【适用形式】x0在初等函数f(x)的定义区间内。【方法】计算极限时，可以把x0代入f(x)以得到极限的结果：。【例】计算极限：①；②。2、初等方法⑴消零法【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式且都是无穷小量。【方法】将分子、分母分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。【例】计算极限：①；②。⑵消极大公因子法【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式或含有根式、指数、正(余)弦，且分子、分母都为无穷大量。【方法】分子、分母都是多项式或含有

2、根式时把分子、分母同除以变量最高次数，然后利用、极限的四则运算计算极限；分子、分母含有指数时除以底数较大(指数为无穷大量)或较小(指数为无穷小量)的指数形式然后利用(或)、极限的四则运算计算极限。【例】计算极限：①；②；③。⑶有理化法【适用形式】函数为分式，分子或分母含有根号且根式阻碍了极限的计算(特别是有根式相减)。【方法】将根式有理化。【例】计算极限：。⑷通分法【适用形式】函数为两个分式相减或分式与其他形式相减，且都不能直接代入(即两个无穷大量相减)。【方法】通分。【例】计算极限：。⑸其他公

3、式或技巧【适用形式】一般极限的计算过程中。【方法】等差、等比数列的求和，三角公式，中学的其他技巧。【例】计算极限：。3、夹逼定理【适用形式】较为复杂而通过放缩可以简化的形式。【方法】利用不等式放缩使已知函数夹在两函数之间，且两函数的极限相等。【例】计算极限：①；②。4、两个重要极限【适用形式】幂值函数(1∞型)；正弦、正切的内部为无穷小量。【方法】凑成两个重要极限之一。【例】计算极限：。5、无穷小量的性质【适用形式】无穷小量乘以有界变量(尤其是正弦、余弦的内部不是无穷小量时)。【方法】无穷小量乘

4、以有界变量的极限为零。【例】计算极限：。6、等价无穷小量代换【适用形式】乘除因子中有常见的无穷小量形式。【方法】把无穷小量用换成与其等价的幂的形式。【例】计算极限：①；②；③。7、左、右极限【适用形式】分段函数；出现指数、根式、反正(余)切的极限。【方法】分别极限左、右极限或时的极限，只有二者相等时极限才存在。【例】计算极限：①；②。二、极限的运用1、无穷小量的比较【方法】利用无穷小量比较的定义，通过计算极限进行比较。【例】若x→0时，求k的变化范围。2、连续性的判断【方法】分别计算、和，判断三

5、者是否都相等。【例】若函数连续，求a、b。3、间断点的分类【方法】利用各类间断点的定义，通过计算极限进行判断。【例】求函数的间断点及其及其类型。4、闭区间上连续函数的性质【方法】根据方程构造函数，验证此函数满足零值定理的条件，根据零值定理证明根的存在性。【例】证明方程sinx+x+1=0至少有一个实根。第三章经济变量的变化率一元函数的导数与微分一、基本概念1、定义【适用对象】分段函数在分段区间端点处的导数。【公式】【例】已知①，求。②，求。③，求。2、几何意义【公式】切线方程：，法线方程：【例】

6、求曲线在处的切线方程。3、与连续的关系【结论】可导必定连续，但连续不一定可导。【例】判断在处的连续性与可导性。二、计算1、初等函数求导【基本知识】基本公式、四则运算、链式法则【例】求下列函数的导数：①；②；③；④；⑤；⑥。2、高阶导数【例】①，求；②，求。3、隐函数求导【方法】①两边求导(视y为x的函数)；②两边微分；③利用公式：。【例】，求。4、对数求导法【对象】①幂值函数，②多个函数相乘除的形式。【例】求下列函数的导数：①；②。三、微分1、定义【例】已知，在处时。2、计算【基本知识】基本公式

7、、四则运算、链式法则【例】计算微分：①；②。3、应用——近似计算【公式】f(x1)≈f(x0)+f'(x0)Δx【例】近似计算的值。多元函数的偏导数与全微分一、多元函数的基本概念1、空间解析几何基础知识2、多元函数的概念【例】已知，求。二、多元函数的偏导数1、概念函数在一点的导数：，。一般用于证明或特殊情况下(如分段函数)的导数计算。【例】求在(x,y)=(0,0)处的偏导数。2、初等函数的偏导数计算注意对谁的偏导数，谁是变量，谁又应该当成常数。【例】求偏导数：①；②。3、复合函数的链式法则【例

8、】已知，求。4、高阶导数【例】求的二阶导数。5、隐函数求导方法：①直接对方程两边求导；②对方程两边微分；③公式法。【例】①设函数由方程确定，求、。②设函数由方程确定，求。三、多元函数的全微分1、概念2、与偏导数存在、连续的关系注意每个推理的逆都不成立。3、计算【例】求的全微分。4、应用。【例】求的近似值。边际与弹性一、边际经济函数的导数称为其边际函数【例】设某厂每月生产产品的固定成本为1000元，生产x单位产品的可变成本为+10x元，每单位产品的售价为30元，求边际成本、边际利润、边际利润为零时