【总结】高等数学考研知识点总结.

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1、第四讲定积分与反常积分一、考试要求1．理解（了解）定积分的概念。2．掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法，掌握（了解）定积分中值定理。3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。5．了解反常积分的概念，会计算反常积分。二、内容提要1定义2若f(x)在[a,b]上连续，则存在，特别34性质：(1)(2)(3)(4)不等式性质(5)估值定理，则(6)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则，注：可在开区间（a,b）内取到.一般地，f(x)在[a,b]

2、上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号，则5定积分的计算(1)牛顿—莱布尼兹公式(2)换元积分法(3)分部积分法6反常积分（1）无界区域上的反常积分：设F(x)是f(x)在(a,)上的一个原函数，且F(a0),F()limF(A)均存在，则称f(x)dx收敛，且定义aAf(x)dx=F()F(a)0；如果F(a0),F()F(A)中有一个不存alimA在，则称f(x)dx发散。a精品学习资料可选择pdf第1页，共14页-----------------------同样可定义的收敛，发散，及其值。c如果存在c使得f(x)dx

3、和f(x)dx都收敛，则称f(x)dx收敛，且定义ccf(x)dx=f(x)dx+f(x)dx。c（2）无界函数的反常积分：设f(x)在(a,b]上连续但无界，而F(x)是f(x)在(a,b]b上的一个原函数，且F(a)0存在，则称f(x)dx收敛，且定义abf(x)dx=F(b)F(a)0；如果F(a)0不存在，则称f(x)dx发散。aa如果f(x)在[a,b)上连续但无界，同样可定义的收敛，发散，及其值。bc设存在c使得f(x)在[a,c)和(c,b]上均连续但无界，如果f(x)dx和f(x)dx都cab收敛，则称f(x)

4、dx收敛，且定义abcbf(x)dx=f(x)dx+f(x)dx。aac（3）几个重要的反常积分（i）若a,1则1padx,收敛；p1p1apx发散;p1（ii）若a,1则1plnadx,收敛；p1p1apxlnx发散;p1（iii）若c[a,b],则b1dx,0

5、]aa可微，它是f(x)在[a,b]上的一个原函数。b(x)（变限积分求导）若f(x)连续，而a(x),b(x)可微，则f(t)dt可微，且a(x)b(x)(f(t)dt)f[b(x)]b(x)f[a(x)]a(x)a(x)精品学习资料可选择pdf第2页，共14页-----------------------,0f(x)f(x)2、=a2f(x)dx,f(x)f(x)03、设f(x+T)=f(x),则aa特别，sinxdxsinxdx，cosxdxcosxdx.a0a0四、典型题型与例题题型一、定积分的概念及性质b[解题提示]

6、1）利用定积分定义求数列极限；2）积分f(x)dx为常数.a例1、设1sinx1434Mcosxdx,N(sinxcosx)dx,211x11234P(xsinxcosx)dx，则1（A）M

7、lnt

8、[ln(1t)]dt与t

9、lnt

10、dt(n=1,2,)的大小,说明理由;001n(II)记un=

11、lnt

12、[ln(1t)]dt(n=1,2,),求极限limun.0n1例3、设fx()4xfxdx()求fx()02例4、设,则f(x)dx

13、=0精品学习资料可选择pdf第3页，共14页-----------------------[令,再积分]例5、设,则f(x)=[等式两边分别从0到1,从0到2积分]f(x)例6、设f(x)在x=0处连续，lim1,且x0xx1f(xt)dt20f(x)axxf(x)dxxlim,0x0ln(1x2)则a=,f(x)=________.12n例7、(022)lim[1cos1cos1cos]=nnnnn224例8、证明下列不等式xtanxdx08032精品学习资料可选择pdf第4页，共14页-------------------

14、----估计积分值常用以下方法：fx()，gx()连续1.若fx()在[,]ab上的最大值为M最小值为m,fx()不恒为常数,b则mb(a)fxdx()Mb(a)a2.若fx()在[,]ab上的最大值为M，最小值为m，gx()0,fxgx()()Mgxmgxx(),()([,