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《2021年复合函数知识总结及例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学习必备精品知识点复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域思路：设函数fx()的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对gx()作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fgx()的定义域。例1.设函数fu()的定义域为（0，1），则函数f(ln)x的定义域为_____________。解析：函数
2、fu()的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(ln)x的定义域为（1，e）1例2.若函数fx()，则函数ffx()的定义域为______________。x11解析：先求f的作用范围，由fx()，知x1x1即f的作用范围为xRx
3、1，又f对f(x)作用所以fx()R且fx()1，即ffx()中x应x1x1满足即1，解得x1且x2fx()11x1故函数ffx()的定义域为xRx
4、1且x2（2）、已知fgx()
5、的定义域，求fx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gx()E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为fx()的定义域。例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数fx()的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5精品学习资料可选择pdf第1页，共13页-----------------------学习必备精品知识点22x即函数fx()
6、的定义域为1，5例4.已知fx(4)lg，则函数fx()的定义域为-------2x8222xx解析：先求f的作用范围，由fx(4)lg，知022x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以x(4，)，即fx()的定义域为(4，)（3）、已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gx()E，f的作用范围为E，又f对hx()作用，作用范围不变，所以hx()E，解得xF，F为fhx()的定义域。x例5.若函数f(2)的定义域为1
7、，1，则f(log2x)的定义域为____________。xx1解析：f(2)的定义域为1，1，即x1，1，由此得2，2211f的作用范围为，2，又f对log2x作用，所以log2x，2，解得x2，422即f(logx)的定义域为2，42评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数yf(g(x)).
8、若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使ax1x2b因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),u2g(x2)即u1u,2且u1,u2(c,d)精品学习资料可选择pdf第2页，共13页-----------------------学习必备精品知识点因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所
9、以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：yf(u)增↗减↘ug(x)增↗减↘增↗减↘yf(g(x))增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性
10、；ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。（4）例题演练2例1、求函数ylog1(x2x)3的单调区间，并用单调定义给予证明22解：定义域x2x30x3或x1单调减区间是,3()设x1,x2,3()且x1x2则22y1log1(x12x1)3y2
