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1、1.2.2同角三角函数的基本关系项目内容1.2.2同角三角函数的基本关系课题修改与创新（共1课时）1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求教学二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如目标何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方
2、法.教学重、教学重点:课本的三个公式的推导及应用.难点教学难点:课本的三个公式的推导及应用.教学多媒体课件准备导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:2222sin60sin135(1)sin90°+cos90°;(2)sin30°+cos30°;(3);(4).cos60cos135推进新课新知探究提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受
3、什么教学过影响?程图1如图1,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1.22由勾股定理有OM+MP=1.2222因此x+y=1,即sinα+cosα=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠kπ+,k∈Z时,有2-1-sina=tanα(等式2).cosa这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问
4、题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+,k∈Z.2②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正
5、弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用第二个等式2求出正切.应用示例4思路1例1已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tan的值α.5活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与22题设条件最接近的关系式是sinα+cosα=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.22解:因为sinα+
6、cosα=1,所以22429cosα=1-sinα=1-()=.52593又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα==,255sina454从而tanα==×()=.cosa533点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.4应使学生清楚tanα=中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关3系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.8例2已知cosα=,求sinα,tan的值α.17活动:教师先引导学生比较例1、
7、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能-2-在x轴的负半轴上(这时cosα=-1).解:因为cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么28215sinα=1-cosa=1()=,1717sina151715tanα==×()=,cosa178854如果α是第三象限角,那么sinα=,tanα=.173点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据
8、题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.2例3化简1-sin440.活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于cos80°>0,因此2cos80=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.222解:原式=1-sin(36080)=1-sin80=1-sin80=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注
