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时间：2021-11-24
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1、常微分方程23全微分方程1.全微分方程的定义设是一个连续可微的二元函数,则若则有这是一大类可求解的微分方程.2令所有与相差一个常数的函数都满足则找到一个满足的函数这种方法称为线积分法.9例：验证方程是全微分方程，并求它的通解。3.全微分方程的积分由于解：当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.(1)线积分法:或10故通解为其中为任意常数所以方程为全微分方程。11(2)偏积分法的通解.例：求方程由于解：假设所求全微分函数为,则有求12而即从而即13解:偏积分法原方程的通解:练习14例：验证方程是全微分方程，并求它满足初始条件：的解。所以方程为全微分方
2、程。由于解：由于(3)凑微分法15方程的通解为：利用条件得最后得所求初值问题得解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为16通解：解:分组凑全微分法练习17解是全微分方程将左端重新组合原方程的通解：练习18一阶线性方程解整理:法一法二整理:练习19（1）偏积分法原方程的通解:20（2）凑全微分法原方程的通解:21若一个方程不是全微分方程，我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。4.积分因子例:求方程解：故该方程不是全微分方程,对该方程两边同时乘以后得:22由于利用凑微分的方法可得通解为:如果有函数使方程是全微分方程。则一个积分因子。称为方程的23观察
3、法凭观察凑微分得到常见的全微分表达式可选用积分因子24例:验证是方程的积分因子,并求它的通解.解：对方程两边同乘以后得由于故该方程是全微分方程,是一个利用凑微分的方法可得通解为:积分因子,25例:验证是方程的一个积分因子，并求其通解。解：对方程有对方程两边同乘以后，再利用凑微分法∴通解为:26求方程解不是全微分方程.将方程两端重新组合,观察法,积分因子原方程练习27解将方程两端重新组合,求方程不是全微分方程.积分因子,原方程的通解:练习28从上面的例子可看出,当确定了积分因子后,很容易求出其通解,但问题是:(1)积分因子是否一定存在?(2)如何求积分
4、因子?这两个问题是十分困难的问题,一般来说无法给出答案,但对一些特殊的函数或方程是可以给出一些充分条件的.29定理2.2微分方程有一个仅依赖的积分因子得充要条件是:于有关；仅与因子得充要条件是同理，方程有一个仅依赖于的积分仅与有关。30即上式左端只与有关,故右端也只能是的函数.反之,若方程的右端函数仅与有关,我们取证明:仅证第一部分.不妨设上式就是方程的一个积分因子,故定理得证.31例：求微分方程的通解。解：由于故它不是全微分方程。利用积分因子的表达式得又因为它与无关。由定理知，方程有一个仅与有关的积分因子。3
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