第四节输运方程

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1、第四节系统控制体输运公式一、系统系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。系统的特点：1、从流体中取出的一定质量的流体；2、与周围流体无质量交换(即运动过程始终包含这些确定的流体质点)dm0;dt3、系统的体积和形状可以随时间改变。4、在系统的边界上可以有能量交换。二、控制体控制体(controlvolume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V。是为了研究问题方便而取定的。边界面S称为控制面。控制体的特点：1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其

2、表面为控制面。2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。3、在控制面上可以存在质量及能量交换三、输运方程（雷诺输运定理）引言：为什么需要雷诺输运定理？看下图#轻费力台相如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研

3、究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这

4、就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，等于系统的动量变化率；再用控制体的动量变化率表示系统的变化率，就完成了板受到的力等于控制体动量变化率的转化；从而，通过计算控制体的动量变化率，求得板受到的力。另外，还有机械能守恒的问题。机械能守恒也是指的“质量不变的确定物体”的系统的机械能守恒，不是“内含不断变化的新物体”的控制体的机械能守恒；因此，用控制体的方法研究机械能守恒，推出著名的伯努利方程，也需要利用雷诺输运定理。总而言之，将“适用于系统的牛顿力学基本方程”转化成“适用于空间体积的力学方程”，这就是雷诺输运定理的用途。下面看看什么是传

5、说中的雷诺输运定理设N为t瞬时，系统内流体具有的某种物理量；刀（-读Eta,伊塔）表示单位质量流体具有的这种物理量。在流场中任选一控制体（实线）II在t瞬时,系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为IIo在这里用v代表体积，V代表速度。t+t瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III+II'（系统用虚线表示，系统的形状、大小都发生了变化，大小发生变化，意味着流体的密度发生了变化，也就是流体是可压缩流体），则t时间问隔内，系统内某种物理量的增量为:△NNttNt(iidviiidv)ttJdv)tdv中的dv为空间II中

6、的任意某一微元体积，乘以这一微元体积对应的密度（这里允许II内各处的密度不相同，也就是允许流体是可压缩的），得出某一微元的质量，再乘以得出任意某一微元具有的某种物理量，再在整个II空间积分，得到II'空间内具有某种物理量；注意II'空间内具有某种物理量是在tt时刻具有的物理量，在其它时刻具有的物理量，不一定是这个值。后两项含义一样，不再赘述。上式右边加上并减去（Id%t,用t通除再取极限得:NttNtt(ndvidv)tt(ndv)tt(idv)ttt(a)呵（-dv）ttt对（a）式左端取极限为：NttNtdNlirn—1IT◎上式就

7、是系统内某种物理量对时间的变化率卜面分析（a）右端各项的物理意义。其中（a）式右端第一项的物理意义,对(a)式右端第一项取极限为:limt0(iidid)tt(iid)tt(iid)tt(iid)tlimtii注意到，ii所占的体积，就是控制体的体积。而控制体的体积为了能清晰的从别的体积中识别出来，通常用CV表示，所以上式可表示为:(c)cv(c)式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。用偏导而不用全导的原因是：控制体内流体所具有的某种物理量不仅仅是随时间变化；控制体周围流场的流体具有这种物理量的“密度”若与控制体内流体所具

8、有的某种物理量的“密度”不一致，也会造成由于流场的非均匀性引起的这种物理量之间迁移，进而改变控制体内流体所具有的某种物理量，因此只能用偏导。(这里“密度”概念只是借用，借用来表示单位体积具有的这种物理量的概