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1、第七章空间解析几何与向量代数名称而县里及线性运算向量的坐数量积向量积向量的加减法三角形法则向量与数的乘法内容概要主要内容（7-1,7-2,7-3）平行四边形法则人a:当九＞0时，九a表不和a同向,当儿＜0,九a表示和a反向，主要性质：（1）a单位化向量为=XlaT网邛p时的向量;向量；a一，(2)a//bya=?ub向量的代数运算a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzka±b=缸土bx)i+⑶土by)j±bz)k九a=，一axi+九ayj+Xazk向量a的模、方向余弦：a=》a2+aj+a2,cosa=,cosB=b^,cosY=laia间Mi(Xi,yi,zJ
2、M2(X2,y2,Z2)的距离:«、222X2-Xi)(y2-yi)(z2-zi)向量a在然轴上的投影：Prja=aIcos（a：'A=a~^数量积向量积混合积定义及运算：ab=abcos(a,b)=axbxaybyazbz2ab王要性质：(i)aa=a；(2)a_Lbuab=0,(3)cos(a,b)=7-^lalb定义运算a父b的模为a父b=absin(a,b),方向为a指向b大拇指方向ijkaxayazbxbybzab=性质：（1）a^b表示以a、b为邻边的平行四边形面积;⑵a^b-La,a^b-Lbaxayabxbybcxcyczzz定义及运算：（ab）c二性质：(
3、1)(ab)c=(bc)a=(ca)b（2）a,b,c共面的充要条件：（axb）c=0习题7-1★★1.填空:(1)要使a+b=a—b成立，向量a,b应满足aib(2)要使a+b=a+b成立，向量a,b应满足a//b,且同向★2.设u=a—b+2c,v=—a+3b—c,试用a,b,c表示向量2u—3v知识点：向量的线性运算解：2u-3v=2a-2b+4c+3a—9b+3c=5a-11b+7c★3.设P,Q两点的向径分别为r1,r2，点R在线段PQ上，且PRRQ证明点R的向径为nrimr2r二mn知识点：向量的线性运算m—m证明：在AOPQ中，根据三角形法则OQ-OP=PQ,
4、又PR=PQ=(r2—r1),mnmnOR=OPPR=r1m,、nr〔mr2(r2-r1)二mnmn★★4.已知菱形ABCD的对角线AC=a,BD=b,试用向量a,b表示AB,BC,CD,DA知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则，AB+BC=AC=a,Ad-Ab=Bd=b,又abcd为菱形，AD=BC(自由向量)，b-a=CD--DC--ABa2a-b2ABuAC-BD=a-b=AB=--2——abAD=BC=,DA=2★★5.把MBC的BC边五等分，设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与点A连接，试以AB=c,BC=2表示向量D1A,D2A,D3A和D4A。
5、3知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5,.一一1--——1、根据三角形法则，ABBD1=AD1,BD1=—BC=D1A=—AD1=-(c—a)55一2一3一4、同理：D2A=「((ca),D3A=-(ca),D4A=「(ca)555习题7-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(2,-2,3);B(3,3,-5);C(3,-2,-4);D(4—3,2)答：A(2,-2,3)在第四卦限，B(3,3,-5)在第五卦限，C(3,-2,-4)在第八卦限，D(-4,-3,2)在第三卦限★2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A(2,3
6、,0);蜕0,3,2);C(2,0,0);D(0,-2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，:点A在xoy坐标面上；B在yoz坐标面上；C在x轴上；D在y轴上。★3.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。答：(1)(a,b,c)关于xoy面的对称点的坐标为(a,b,-c)；关于xoz面的对称点的坐标为(a,—b,c)；关于yoz面的对称点的坐标为(一a,b,c)。(2)(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b,-c)；关于y轴的对称点的坐标为(一a,b,—c)；
7、关于z轴的对称点的坐标为(一a,-b,c)(3)(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为(一a,—b,-c)★★4.过点B(Xq,y0,Z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？答：过点P0(x0,y0,z0)平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为x0,y0,因此坐标为(x0,y0,z);过点P0(x0,y0,z0)平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为z,因此坐标为(x,y,z0)★5.求点M(5,4,4)到各坐标轴的距离。解：:M(x,y,z)到x轴的距离为
