甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）.docx

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兰州一中2022-2023高二学期期末考试题数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小小题，每小题5分，共40分）1.数列，，，，…的一个通项公式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据选项进行逐一验证，可得答案.【详解】选项A.,当时，无意义.所以A不正确.选项B.,当时，，故B不正确.选项C.，，，所以满足.故C正确.选项D.,当时,,故D不正确.故选：C2.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题得双曲线的方程为，所以，所以渐近线方程为．故选：D3.已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.【详解】，由题意可得.故选：B4.若直线截取圆所得弦长为2，则（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得直线过圆的圆心，进而可求解.【详解】因为圆的半径为1，直径为2，故直线过的圆心，故，解得.故选：C5.已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，因为圆的半径为，抛物线的通径为，所以有：，解得故选：D6.已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，则，即.故选：D．7.已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 ，则的面积为（）A.2B.4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.【详解】因为，所以，由双曲线的定义可得，所以，解得，故面积为．故选：B8.已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左､右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用矩形的性质及勾股定理，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】如图所示第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 设，则，，，因为，所以，则四边形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，于是有，解得，所以双曲线的离心率为.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，有漏选得3分，有错选得0分）9.已知圆和圆的交点为A，B，则（）．A.两圆的圆心距B.直线的方程为C.圆上存在两点P和Q使得D.圆上的点到直线的最大距离为【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据两个圆的方程先得到两个圆心坐标，然后利用两点间距离公式即可求解；对于B，两圆作差即可得公共弦的方程；对于C，根据直线经过圆的圆心即可判断；对于D，圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求解.【详解】由圆和圆，可得圆和圆，则圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 对于A，两圆的圆心距，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，故B正确；对于C，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确.故选：BD.10.已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率C.椭圆的短轴长为4D.的面积的最大值是4【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断.【详解】解：因椭圆方程，所以，所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，故A错误，B,C正确；对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2,此时的面积取最大为,故正确.故选：BCD.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 11.关于及其二项展开式，下列说法正确的是（）A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为B.该二项展开式中第8项为C.当时，除以100的余数是9D.该二项展开式中不含有理项【答案】BC【解析】【分析】对于A，由二项式系数的性质，由公式可得答案；对于B，根据二项式定理的通项公式，令时，可得答案；对于C，根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案；对于D，利用二项式定理通项，使的指数为整数，可得答案.【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A错误；展开式中第8项为，故B正确；当时，，∵，除以100的余数是9，∴当时，除以100的余数是9，故C正确；的展开式的通项为，当为整数，即时，为有理项，故D错误．故选：BC．12.设的左右焦点为，．过右焦点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列判断正确的是（）A.双曲线渐近线方程为B.离心率为第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 C.它和双曲线共用一对渐近线D.过点且和双曲线C只有一个公共点的直线，共有两条【答案】BC【解析】【分析】根据题意先求出A点坐标，再根据求出B点坐标，代入另一条渐近线方程中，得到一个等式，利用渐近线的性质，结合渐近线方程、离心率公式、以及一元二次方程根的判别式判断即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：，设过右焦点向双曲线的渐近线引垂线，垂足为A，所以的斜率为，因为的坐标为，所以直线的方程为：，与联立，解得，设，因为，所以有，所以，代入中，得：A：因为，双曲线渐近线方程为，故本判断不正确；B：由，故本判断正确；C：，所以该双曲线的渐近线方程为：，故本判断正确；D：，因此双曲线方程为：设过的直线方程为，代入双曲线方程中得：，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 当时，此时直线与双曲线只有一个公共点，这样有二条，当时，由根的判别式为零，得，可得：，这样的直线有二条，因此本判断不正确，故选：BC【点睛】关键点睛：本题的关键是通过已知求出A点坐标，再根据求出B点坐标.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线与垂直，则实数m＝__．【答案】6【解析】【分析】根据两直线垂直时，斜率乘积为-1，解方程求得m的值．【详解】由直线且斜率存在，则直线，由直线与垂直，则解得.故答案为：6．14.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.【答案】【解析】【分析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得，故实轴为.【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，所以，进而得.故双曲线的实轴长为：.故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.15.第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）【答案】##【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.【详解】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能，“甲同学参加连续两天活动”共有种可能，故甲同学参加连续两天活动的概率.故答案为：.16.已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【详解】如图，由为椭圆上任意一点，则，又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为，当共线时，最大，如下图所示：，最大值为，所以取值范围为，故答案为：【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足（1）求数列和的通项公式；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 （2）令求数列的前n项和；【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；（2）分组求和即可.【小问1详解】设的公差为,由已知,有解得，所以的通项公式为,的通项公式为.【小问2详解】，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.18.已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上（1）求圆C的方程；（2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【小问1详解】由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；【小问2详解】由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 19.已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，求直线l的方程．【答案】.【解析】【分析】中点弦问题，可以采用点差法求解，或联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求解.【详解】由题意可知l斜率必存在，设l斜率为，则直线的方程为，代入椭圆的方程化简得，设，∵，∴，解得，故直线l的方程为：.另解：由题知在椭圆内，设直线与椭圆相交于点，易知直线斜率存在，设斜率为，∵在椭圆上，，①－②得，即，即，解得.∴直线的方程为，整理得.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4.（1）求动点M的轨迹C的方程：（2）已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值.【答案】（1）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 （2）【解析】【分析】（1）由椭圆方程得出焦点坐标，由已知分析动点满足的条件，根据定义利用待定系数法设方程，求出相关的量即可；（2）设设，代入方程中化简得的表达式，利用斜率公式写出的表达式，化简即可【小问1详解】由椭圆知：所以左、右焦点分别为因为动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4所以动点在以为焦点的双曲线上，设动点设方程为：由双曲线的定义得：所以所以动点设方程为：【小问2详解】设则由第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 所以所以.21.已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．【小问1详解】依题意，设所求双曲线方程为，代入点得，即，所以双曲线方程为，即．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【小问2详解】由（1）得，则，，，又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，设，，联立，消去，得，则，，，由弦长公式得，又点到直线的距离，所以．22.已知抛物线上的点到其焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）点在抛物线上，直线与抛物线交于、两点，点与点关于轴对称，直线分别与直线、交于点、（为坐标原点），且.求证：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，利用抛物线的定义可得出关于的等式，结合可求得的值，即可得出抛物线的方程；（2）分析可知直线的斜率存在且大于，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点、的坐标，分析可知点为线段的中点，利用中点坐标公式结合韦达定理求出的值，即可得解.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【小问1详解】解：由点在抛物线上可得，，解得.由抛物线的定义可得，整理得，解得或（舍去）.故抛物线的方程为.【小问2详解】证明：由在抛物线上可得，解得，所以，则直线的方程为.易知且、均不为，易知，因为，，，所以，直线的斜率存在且大于，设直线的方程为，联立得化为，则，且，，由直线的方程为，得.易知直线的方程为，故.由，则为的中点，所以，，即，即，所以，，化为，则得，所以直线的方程为，故直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司