高考数学复习点拨 函数及其性质解读

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1、函数及其性质解读　　1、函数的定义　　（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么把y叫做x的函数，x叫做自变量，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。y是x的函数，可以记作y＝f（x）（f表示对应法则）。　　（2）近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作y＝f（x），其中。原象的集合A叫做函数f（x）的定义域，象的集合C叫做函数f（x）的值域，显然。　　注意：①由函数的近代定义可知，函数是数集

2、间的映射。　　②对应法则f是联系x、y的纽带，是函数的核心，常用一个解析式表示，但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示，而是采用其他方式（如数表或图象等）。定义域（或原象集合）是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。　　③f（a）与f（x）的涵义是不同的，f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量，而f（x）是x的函数，是表示对应关系的。　　2、函数的性质　　（1）函数的单调性　　设y＝f（x）是给定区间上的一个函数，是给定区间上的任意两个值，且

3、，如果都有，则称f（x）在这个区间上是增函数（也称f（x）在这个区间上单调递增）；如果都有，则称f（x）在这个区间上是减函数（也称f（x）在这个区间上单调递减）。　　如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，就说f（x）在这一区间上具有（严格）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间。　　（2）函数的奇偶性　　①如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。　　②如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。　　3、反函

4、数　　（1）逆映射：设是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的每一个元素b，使b在A的原象a和它对应；这样所得的映射叫做映射的逆映射，记作：。注：映射也是映射的逆映射，而且也是一一映射（从B到A上的一一映射）。　　（2）如果确定函数y＝f（x）的映射是f（x）的定义域A到值域B上的一一映射，那么这个映射的逆映射所确定的函数叫做函数y＝f（x）的反函数。　　函数y＝f（x）的定义域、值域分别是函数的值域、定义域。　　函数y＝f（x）的反函数，习惯上写成。　　一般地，求函数y＝f（x）的反函数的方法是先由y＝f（x）解出，然后把改写成。　　函数y＝f（x）和其反函数的图象关于直线

5、y＝x对称。　　例1、判断下列各题中的两个函数是否相同。　　（1）；（2）；　　（3）；　　（4）。　　解析：（1）不同。因为f（x）的定义域是x≠0且x≠－1，而g（x）的定义域是x≠－1，由于定义域不同，故f（x）和g（x）是不同的函数。　　（2）不同。因为这两个函数的对应法则不同。　　对应法则f：　　对应法则g：。　　（3）相同。因为这两个函数的定义域和对应法则都相同，　　（4）不同，虽然这两个函数的解析式相同，但给出的定义域不同。　　例2、求下列各函数的定义域：　　（1）；（2）；（3）。　　解析：（1）由。（2）全体实数。　　（3）解不等式组，得0

6、知f（x）为一次函数，且f[f（x）]=9x－1，求f（x）的解析式。　　解析：设，则，即，　　∴，∴，　　故所求函数为或。　　例4、求下列函数的值域：（1）；（2）。　　解析：（1）把看成是关于x的方程，整理得，∵x，y是实数，∴当y＝1时，x＝0。当时，，故函数的值域是。　　（2）。故函数的值域是y≤1。　　评注：配方法是二次函数求值域的主要方法。如果y＝f（x）能化成关于x的一元二次方程，则常用根的判别式法求函数的值域。　　例5、设f（x）为偶函数，f（x）在（0，＋∞）内单调减少，求证f（x）在（－∞，0）内单调增加。　　证明：设，则，∵，f（x）在（0，＋∞）内单调减少

7、，∴，　　∵f（x）为偶函数，∴。由于在（－∞，0）内的任意性，根据增函数的定义，可知f（x）在（－∞，0）内单调增加。　　例6、求函数的反函数及这个反函数的值域。　　解析：从解出x，得到，改写成。∵原来函数的定义域为x≥1，值域为y≥2，∴所求的反函数为：，（x≥2），这个反函数的值域为y≥1。