第一章习题课(第二次)

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1、（1.21、1.22、1.28、1.29、1.36、1.37、1.43、1.50）1.21将一质点以初速抛出，与水平线所成之角为。此质点所受到的空气阻力为其速度的倍，为质点的质量，为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间。解：阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.轨道的切线方向上有：①轨道的法线方向上有：②由于角是在减小的，故③由于初末状态由速度与水平方向夹角来确定，故我们要想法使①②变成关于的等式由①即④把代入可得⑤用④⑤可得即，两边积分得⑥代入初始条件时，即可得代入

2、⑥式，得⑦又因为所以⑧把⑦代入⑧积分后可得1.22如向互相垂直的匀强电磁场、中发射一电子，并设电子的初速度与及垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为，式中为电场强度，为电子所带的电荷，为任一瞬时电子运动的速度。1.22各量方向如题1.22.1图.电子受力则电子的运动微分方程为②-③-④由②，即⑤代入③整理可得⑥对于齐次方程的通解非齐次方程的特解所以非齐次方程的通解代入初始条件：时，得时，得,故⑦同理，把⑦代入⑤可以解出把⑦代入⑤代入初条件时，，得.所以）1.28重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长轴的端点开始运动时，

3、其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。1.28解建立如题1.28.1图所示直角坐标.椭圆方程①从滑到最低点，只有重力做功.机械能守恒.即②设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有：N-mg=mv2/③为点的曲率半径.的轨迹：得；又因为所以故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为方向垂直轨道向下.1.29一质量为的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为，式中为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为1.29解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为①-②由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：③-④因为曲线上每

4、点的曲率⑤所以⑥⑦把⑥⑦代入曲率公式⑤中所以⑧由④即，数学可知，即所以⑨把⑧⑨代入①1.36检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。，，1．36解（a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式，代入上式即所以此力是保守力，其势为(b)同（a），由所以此力是保守力，则其势能为1.37根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：＜0试求中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量。1.37解（a）因为质子与中子之间引力势能表达式为故质子与中子之间的引力（b）质量为的粒子作半径为的圆运动。动量矩由（a）知提供粒

5、子作圆周运动的向心力，方向是沿着径向，故当半径为的圆周运动两式两边同乘以即又因为有做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。所以1.43如果质点受有心力作用作双纽线运动时，则试证明之。1.43证由比耐公式质点所受有心力做双纽线运动故故1.50质量为的质点在有心斥力场中运动，式中为质点到力心的距离，为常数。当质点离很远时，质点的速度为，而其渐进性与的垂直距离则为（即瞄准距离）。试求质点与的最近距离。1.50解质点在有心力场中运动，能量和角动量均守恒。无穷远处势能为零。所以①②任意一处由②代入①所以