高阶导数及高阶微分

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1、§5.5高阶导数一、高阶导数定义定义函数的（一阶）导函数在的导数，称为函数在的二阶导数，记为，即。函数的二阶导函数在的导数，称为函数在的三阶导数，记为。一般情况，函数的阶导函数在的导数，称为函数在的阶导数，记为，即。二阶与二阶以上的导数，统称为高阶导数。对于函数的高阶导数，，…，也分别记为，，…，。设物体的运动规律（函数）是，其中是时间，是距离。已知它的(一阶)导数是物体在时刻的瞬时速度，即。现在求速度函数在时刻的导数。比值是物体在时间内的平均速度。若极限存在，即。于是，速度时刻的导数，即运动规律在时刻的二阶导数是物体运

2、动在时刻的加速度。例如，已知自由落体的运动规律是。它的（瞬时）速度与加速度分别是与，即自由落体运动的加速度是常数，就是重力加速度。由此可见，自由落体运动时等加速度运动。由函数的高阶导数的定义求函数的阶导数就是按求导法则和求导公式逐阶进行次.例1求次多项式的各阶导数。解，，每求一次导数，多项式的次数降低一次。不难得到，的阶导数是，而.于是，次多项式的阶导数是常数，高于阶的导数都恒为0.例2求（是常数）的阶导数。解例3求的阶导数。解例4求的阶导数。解例5求（是实数）的阶导数。解二、莱布尼茨①公式莱布尼茨公式是求两个函数乘积的

3、高阶导数的公式。为了书写简便，将函数（1）不难发现，（1）式右端很类似二数和的立方公式：（）。（2）在（2）式中，将次数换成阶数（而），①等号左端的和换成积，恰好就是（1）式。因此，两个函数乘积的阶导数很类似二数和的次幂的展开式。定理1若与都是的函数，且存在阶导数，则其中（3）式称为莱布尼茨公式。证明用归纳法证明。当时，（3）式成立，即。设（3）式成立，即则即也成立。例7，求。解设由莱布尼茨公式，有例8，求解设已知由莱布尼茨公式，有例9多项式称为勒让德次多项式。求与。解将改写为设由莱布尼茨公式，有在上式等号右端方括号中，

4、从第二项起及以后各项都包含着因式，当时，皆为0.于是，在上式等号右端方括号中，从倒数第二项起及以前各项都包含着因式，当时，皆为0.于是，三、高阶微分函数的高阶微分的定义类似于高阶导数的定义。定义函数的微分（是常数）的微分，称为函数的二阶微分，记为。一般情况，函数是阶微分的微分，称为函数的阶微分，记为。二阶及二阶以上的微分，统称为高阶微分。根据高阶微分的定义，函数的各阶微分是一般情况即或（4）注在高阶微分概念之前，函数的阶导数的符号是一个完整的符号，不具有商的意义。在高阶微分概念之后，是函数的阶微分。由（4）式知，函数的阶

5、导数是函数的阶微分与自变量微分的次方的商。由（4）式，阶微分是阶导数与的乘积，于是求阶微分主要就是求阶导数。因此，求高阶微分之例从略。