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1、第十一讲:解析几何1第十一讲:自主招生数学试题中的解析几何杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699）解析几何是中学数学的主干内容,在高考、自主招生和数学竞赛中均占有重要位置.解析几何是高考决胜的至高点,是自主招生和数学竞赛的必争之地.高考、自主招生和数学竞赛中的解析几何问题的难度、所涉及的知识和方法,大体相当.Ⅰ.知识拓展1.基础结论:①点P(a,b)在曲线C:f(x,y)=0上f(a,b)=0;②若不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标满足,则直线AB的方程
2、为:ax+by+c=0.2.曲线系:在一个关于x,y的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,给这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.①过曲线C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f1(x,y)+λf2(x,y)=0;②过二次曲线C:ax2+cy2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0交点的圆系方程为:(ax2+cy2+dx+ey+f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,
3、这里λ=,t为任意实数.3.中点弦方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:ax0x++cy0y+d+e+f=ax02+cy02+dx0+ey0+f.推论:1.若点P(x0,y0)在椭圆G:=1内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:=;2.若点P(x0,y0)在双曲线G:=1内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:=;3.若点P(x0,y0)在抛物线G:y2=2px内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:y0y-p(x+x0)=y
4、02-2px0;若点P(x0,y0)在抛物线G:x2=2py内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:x0x-p(y+y0)=x02-2py0.4.切线方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:ax0x+cy0y+d+e+f=0.推论:1.若点P(x0,y0)在圆G:(x-a)2+(y-b)2=R2上,则圆G在点P处的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2;2.若点P(x0,y0)在椭圆G:=1上,则椭圆G在点P处
5、的切线方程为:=1;3.若点P(x0,y0)在双曲线G:=1上,则双曲线G在点P处的切线方程为:=1;4.若点P(x0,y0)在抛物线G:y2=2px上,则抛物线G在点P处的切线方程为:y0y=p(x+x0);若点P(x0,y0)在抛物线G:x2=2py上,则抛物线G在点P处的切线方程为:x0x=p(y+y0).5.切点弦方程:从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0.推论:1.从
6、点P(x0,y0)引椭圆G:=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:=1;2.从点P(x0,y0)引双曲线G:=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:=1;2第十一讲:解析几何3.从点P(x0,y0)引抛物线G:x2=4py的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:x0x=2p(y+y0);从点P(x0,y0)引抛物线G:y2=2px的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:y0y=2(x+x0).6.切线交点的轨迹:过定点Q(x0,y0)(x02+y02
7、≠0)的直线与二次曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0.推论:1.过Q(x0,y0)的直线与椭圆G:=1相交于M、N,椭圆G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:=1;2.过点Q(x0,y0)的直线与双曲线G:=1相交于M、N,双曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:=1;3.过点Q(x0,y0)的直线与抛物线G:x2=4py
8、相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:x0x=2p(y+y0);过点Q(x0,y0)的直线与抛物线G:y2=2px相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:y0y=2(x+x0).Ⅱ.归类分析1.直线与圆:[例1]:(2010年同济大学保送生考试数学试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是.注:本题引用(2
