奥数:页码问题(数论问题)

奥数:页码问题(数论问题)

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1、奥数:页码问题(数论问题)页码问题与图书的页码有密切联系.事实上,页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题.编一本书的页码,一共需要多少个数码呢?反过来,知道编一本书的页码所需的数码数量,求这本书的页数.这是页码问题中的两个基本内容。页码问题是现在的奥数竞赛以及公务员考试中常见的、经常考试的知识点。页码问题实际上是数论的问题。为了顺利地解答页码问题,我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系.一位数共有9个,组成所有的一位数需要9个数码;两位数共有90个,组成所有的两位数需要2×90=180(个)数码;三位数共有900个,

2、组成所有的三位数需要3×900=2700(个)数码。现在我们来看几道例题.例1一本书共204页,需多少个数码编页码?分析与解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);100~204页每页上的页码是三位数,共需数码(204-100+1)×3=105×3=315(个).综上所述,这本书共需数码9+180+315=504(个).例2一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码.问:这本书共有多少页?分析:因为189<2211<2889,所以这本书有几百页.由前面

3、的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211-189)个,所以三位数的页数有(2211-189)÷3=674(页).因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有:99+674=773(页).解:99+(2211-189)÷3=773(页).答:这本书共有773页.4例3一本书的页码从1至62,即共有62页.在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次.结果,得到的和数为2000.问:这个被多加了一次的页码是几?分析与解:因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为1+2+…+61+62=62×(62+

4、1)÷2=31×63=1953.由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是2000-1953=47.例4有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131.老师说小明计算错了,你知道为什么吗?分析与解:48页书的所有页码数之和为1+2+…+48=48×(48+1)÷2=1176.按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176-1131=45.这两个页码应该是22页和23页.但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何

5、一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大.小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的.例5将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:123456789101112…问:左起第2000位上的数字是多少?分析与解:本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000-189)÷3=603……2,所以2000个数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”.所以本题的第2000位数是0.例6排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?4分析与解:将1~400分为四组:1~100,101

6、~200,201~300,301~400.在1~100中共出现11次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次0.所以共需要数码“0”典型例题:例1、13/1995化成小数后是一个无限小数,问在这个无限小数的小数点后面,从第一位到1995位,在这1995个数中,数字6共出现了多少次?解答:这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节,然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数。13/1995=0.0065162907268170426……,循环节是065162907268170426共18位,每个循

7、环节数字6出现4次,(1995-1)÷18=110……14,前14位6出现3次,所以一共有110×4+3=443个。例2、有一本96页的书,中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶数吗?解:假设可能得到偶数,那么计算如下:如果这本书不缺页,则总96页的所有页码之和是:1+...+96=4656。由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数,所以每一页上的页码之和必定是奇数。那么:残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数综上所述:不可能得到偶数。例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1

8、23456789101112…问:左起第1000位上的数字是多少?解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);  10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);因为(10

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