立体几何专题突破之《探究性问题》

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1、立体几何专题突破之《探究性问题》　考点动向　立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．探究是一种科学的精神，因此，也是命题的热点．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．方法范例例１如图８－１，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，．（１）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（２）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论．解析　本题的两问都充满

2、了探究性，问题的情景具有运动变化的特点，此时，只需要确定某一个位置进行推理，其它作类似推理即可．即所谓的化动为静．解法1　（1）连，设与面交于点，连．因为面，面面，故．所以．又，所以面．故即为与面学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网所成的角．在中，，即．故当时，直线与平面所成角的正切值为．（2）依题意，要在上找一点，使得．可推测的中点即为所求的点．因为，所以面．又面，故．从而在平面上的射影与垂直．解法２（1）建立如图８－３所示的空间直角坐标系，则．所以．又由知，为平面的一个法向量．设与平面所成的角为，则．依题意有，解得．故当时，直线与平

3、面所成角的正切值为．（2）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则．依题意，对任意的要使在平面上的射影垂直于，等价于．即为的中点时，满足题设要求．学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网[规律小结]探究性问题一般具有一定的深度，需要深入分析题目的条件和所问，根据题目的特征，选用适当的解题方法．必要时，进行假设推理，或者反证推理，往往也是进行图形推理与代数推理的典型问题．考点误区分析解答探究性问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过备考阶段的联练习，加强解题信心的培养．确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的

4、特征，进而实现顺利解答．同步训练１．两相同的正四棱锥组成如图８－４所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（　　）．（A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）无穷多个２．在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于，则（　　）．①四边形一定是平行四边形②四边形有可能是正方形③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）３．如图８－５，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，

5、且，另一侧面是正三角形．学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．［参考答案］１．［解析］本题相当于一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个；或者两个正四棱锥的高均为，放入正方体后，面的面积是不固定的，其范围是．［答案］．２．［解析］借助图形及面面平行的性质定理，射影的定义，面面垂直的判定可得．［答案］①③④．３．［答案］（２）；（３）线段上存在点，且时符合条件．学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网