立体几何探究性问题（理科）.doc

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1、立体几何探究性问题一、探究两条异面直线所成的角DABCEFP例1（2004浙江）如图1已知正方行ABCD和矩行ACEF所在平面互相垂直，，试在线段上确定一点，使得与所成的角是，并加以证明。二、探究直线与平面所成的角2.在三棱锥A-BCD中，AB，BC，CD两两垂直，若AD与平面BCD所成的角为α，AD与平面ABC所成角为β，且AD=6，则当α=30°，β为何值时，三棱锥A-BCD的体积最大，最大值是多少？ABCDE3.（2006年江西）如图4，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且另一个侧面是正三角形，在线段上是否存在一点，使成角，若存在，确定的位置，若不存

2、在，请说明理由。三、探究二面角ABCED4（2005年浙江）如图在长方体中，点在棱上移动，当等于何值时，二面角的大小为。四、探究线面垂直5，（2000全国）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．(I)证明：第22页⊥BD；(II)假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；(III)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．例5（2005湖北）如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面

3、PAC，并求出N点到AB和AP的距离五、探究线面平行例6（2004年湖南）如图在底面是菱形的四棱锥中，ABCDOEFMP点在上，且在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。六、探索角、距离的定值与最值例8：如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若。（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）当为何值时，的长最小；（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小。第22页一、探究两条异面直线所成的角DABCEFP例1（2004浙江）如图1已知正方行ABCD和矩行ACEF所在平面互相垂直，，试在线段上确定一点，使得与所成的角是，并加以证明。分析：设，利用与所成的角是来构建以

4、为元的方程，再解就确定了点的位置。解法1：如图2，ABCD是边长为的正方形，设ABCDEFPQ作交与，则//，相交直线所成的角是异面直线与所成的角。平面ABCD平面ACEF,ACEF矩行，，，要使所成角是，只需使，只需使，，只需使，又在中，，，，所以当点是线段的中点时所成的角为。解法2：如图3正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，YXzABCDEFP，又设以为坐标原点，直线分别为轴，的正方向，建立空间直角坐标系，则，要使所成角是只需使，所以，所以当点是线段第22页的中点时所成的角为。二、探究直线与平面所成的角ABCDE例2：（2006年江西）如图4，在三棱锥中，

5、侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且另一个侧面是正三角形，在线段上是否存在一点，使成角，若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由。分析：如图5把在三棱锥补成以为棱的正方体HCDB---AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解找到与面所成的角。在上任取一点使，利用所成的角为来构建方程，再求ACBDEMNGH的值，若就确定了点的位置，若则说明满足条件的点不存在。解法1：如图6，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，是正三角形，则DABCOEFH取的中点连结则，，，，作交的延长线于，则平面平面则，在Rt中，，在中，，在中，，，在中，设，作，平面平面，就是第22页所

6、成的角。由(※)，在中，，要使成角，只需使，当时成角AHFEBODCxyz解法2在解法1中接（※）以为坐标原点，以直线分别为轴，轴的正方向，以过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示则，又平面的一个法向量为，要使成角，只需使成，只需使，即，当时成角三、探究二面角ABCED例3（2005年浙江）如图在长方体中，点在棱上移动，当等于何值时，二面角的大小为。分析：设，利用二面角的平面角的大小为来构建以为元的方程，求解，就确定的值了。解法1：由于是长方体，则，作连结则在平面上的射影，由三垂线定理得，故是二面角的平面角。设，在，在，由，第22页，要使，只需使，，解得（

7、舍去）所以当时，二面角的大小为。xyZABCDE解法2：是长方体，，以为坐标原点，分别以直线为轴，y轴,z轴正方向，建立空间直角坐标系；如图所示。设则设平面的一个法向量为，由令，又平面的一个法向量为，要使二面角的大小为，只需使，，所以当时，二面角大小为。四、探究线面垂直例4（2000全国）如图已知平行六面体的底面是菱形，且，当的值为多少时能使？请给出证明。分析：执果索因，从结论出发，进行逆向思维，逐层探究使它成立的充分条件，联想平行六面体是由长方体压扁得到，从而ABCDO猜想，再从入手就容易证明了。第22页解法1：如图设，连结