实变函数b卷(解答)

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1、院系专业年级学号华中师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、B卷）课程名称实变函数课程编号42111300任课教师题型判断题叙述题简答题解答题总分分值15151060100得分一、判断题（判断正确、错误，并改正。共5题，共5×3=15分）1、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。(×)改正：无限集中不存在基数最大的集合，但存在基数最小的集合。2、存在闭集使其余集仍为闭集。（√）3、若是可测集，是的可测子集，则。(×)改正：若是可测集，是的测度有限的子集，则。4、若是可测集，是上的实函数，

2、则在上可测的充要条件是：存在实数，使是可测集。（×）改正：若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：对任意实数，是可测集。5、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。(√)二、叙述题（共5题，共5×3=15分）1、伯恩斯坦定理。答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的基数也不超过的基数，则与对等。2、伯恩斯坦定理。答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的基数也不超过的基数，则与的基数相等。3、可测集与开集的关系。答：设为可测集，则对任意，存在开集，使且。4、叶果洛夫定理的逆定理。答：设{}为上几乎处处

3、有限的可测函数列，也为上几乎处处有限的可测函数如果对任意，存在可测子集，使在上，一致收敛于，而则a.e.于。5、在可测集上几乎处处收敛于的定义。答：设是可测集，、均为上的可测函数，如果中使不收敛于的点所成的集为零测集，则称在上几乎处处收敛于，记为a.e.于。三、简答题（共1题，共1×10=10分）1、按从简单到复杂的方式简述Lebesgue的定义。答：1.设为可测集，为上非负简单函数，即（两两不交）且当时，则称为在上的Lebesgue积分，记为。————————————————————3分2.设为可测集，为上非负可测函数，则

4、存在一列单调递增非负简单函数列使，则称为在上的Lebesgue积分，记为。—————————————————————7分3.设为可测集，为上可测函数，由于，如果与至少有一个为有限数，则称－为在上的Lebesgue积分，记为。—————————————————————10分四、解答题（共6题，共6×10=60分）1、设是上的单调函数，证明是上的可测函数。证：由题设知在上几乎处处连续，——————————————6分而上连续函数是可测函数所以由可测函数的性质知是上的可测函数。——————————————10分2、设，证明是闭集的

5、充要条件是：，其中{包含的闭集全体}。证：充分性由闭集的交集运算性知是闭集。————————————4分必要性对任意，有，所以——————————7分又，从而所以。————————————10分3、若均为上的可测子集，且，则。证：因为————————————————4分而，所以。———————————10分4、利用Lebesgue控制收敛定理，求。证：因为当时，，———————————————4分所以a.e.于由Lebesgue控制收敛定理知=。————————10分5、设，其中是上的有理数集，求。解：因，所以a.e.于——

6、——————————5分由积分的唯一性知=—————————————10分6、若中的可测集列，满足，则证：因=，——————————————4分所以让，由夹逼原则知又所以。—————————————————10分