实变函数A卷(解答)

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1、华屮师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、R卷）课程名称实变函数课程编号42111300任课教师题型判断题叙述题简答题解答题总分分值15151060100得分一、判断题（判断正确、错课，并改正。共5题，共5X3=15分）1、可数个冇限集的并集是可数集。.（X）改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。2、存在开集使具余集仍为开集。（V）co3、若可测集列E“单调递减，则mAEn=limrnE,o(X)n=s改正：若可测集列乞单调递减，且存在〃0,使加£心<008则mAEn=limmEn<>n=—4、若E是可测集

2、，/（兀）是£上的实函数，则/（x）在E上可测的充要条件是：0实数a,b（aa]都是可测集。5、若E是可测集,/（兀）是E上的非负可测函数,则于（兀）在E上一定可积。改正：若E是可测集,/（X）是E上的非负可测函数，则/（x）在E上不一定可积。二.叙述题（共5题，共5X3=15分）1、集合的对等。答：设A、B是两个集合，若A、BZ间存在一一对应，则称A与B对等。2、可测集。答：设EuR”,如果对任意Tu

3、R”,总有mV=/77*（Tn£）+m*（Tn£c）,则称E为可测集。3、可测集与几型集的关系。答：设E为可测集，则存在人型集F,使FuE且加E二加F、加（E—F）=O。4、叶果洛夫定理。答：设mE<+oo,{fn（x））为E上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）也为E上儿乎处处有限的可测函数，如果AU）^/（x）a.e.于E,则对任意£>0,存在可测了集E£^E使在E&上,fn（兀）一致收敛于/*（兀），而m{E-EG）<8o5、九（兀）在可测集E上依测度收敛于/（兀）的定义。答：设£为可测集，九（兀）及于（兀）为£上儿乎处处冇限的可测函数，如

4、果对任意0总有limmE[xfn-f>a]=Of则称九（兀）在E上依测度收敛于/⑴。三、简答题（共1题，共1X10=10分）按从简单到复杂的方式简述Lebesgue的定义。n答：1.设E为可测集，/（兀）为E上非负简单函数，即E=oEj（&两两不交）且当/=1nxg£;时/（x）=ci=1,2,...,a?,则称工c尹迟为于（x）在E上的Lebesgue积分，记为/=1。3分2.设E为可测集，/（x）为E上非负可测函数，则存在一列单调递增非负简单函数列（p3使久（X）->/（X）,则称lim^（pH（x）dx为/（x）在E上的Lebe

5、sgue积分，记为。"7E10分10分3.设E为可测集，/(兀)为E上可测函数，由于/(x)=/+(x)-/-(x),如果f+(x)dx与Ef~(x)dx至少有一个为有限数，则称fx)dx-f~(x)dx为/(兀)在E上的Lebesgue积分,E记为。EEE10分四、解答题(共6题，共6X10=60分)1、设/(兀)是E=(-co,+oo)上的连续函数，证明/(兀)是E上的可测函数。证：对任意实数d,因/(兀)是E=(-00,+oo)±的连续函数则Exf>a是开集。而开集为可测集，从而E[xf>a]是可测集所以于(朗是E上的可

6、测函数。2、证明外测度的单调性，即若AuBuR",则mA0,取开区间/“=(乙一古,乙+毒),00显然Eu”008所以亦工乔之10分再由£的任意性知mE=0O4、利用Lebesgue控制收敛定理，求lim^—^^~xdxo〃一》8Jn0"证：显然1曲皿+"）八=0“Toonln(x+n)A.nW(x+1)厂]_46、若/?”中的

7、可测集列{Efl},满足00n->007^k=n=0,贝ij眈(limEn)=m(hmEft)=0+ocH.J(x+Y)e~xdx绝对收敛o所以（x+Y）e~xgL[0,+ool8分由Lebesgue控制收敛定理知原式=0]0分5、设/⑴二卩,其中人）是[0,1]±的Canlor集，求f{x）dxo[OJ]证：因mP.=0，所以/(x)=x3a.e.于[0,1]所以由积分的唯一-性知10分oo证：因limEn=nuEx.czuE.,工mEk^nns/:=1k>nk>n所以mimEnn让斤—>00,由夹逼原则知mlim

8、£n=0“TOOlimEnulimEz?三ng10分所以mlimEn=0。