固体物理补充习题05

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1、固体物理补充习题（十四系用）1.将半径为R的刚性球分别排成简单立方（sc）、体心立方（bcc）和面心立方（fcc）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为rp、rb和rf的小刚球，试分别求出rp/R、rb/R和rf/R的最大值。提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，可填充小刚球的大小也各不相同。2.格常数为a的简单二维密排晶格的基矢可以表为a1=aia2=ai+aj(1)求出其倒格子基矢b1和b2,证明倒格子仍为二维密排格子；(2)求出其倒格子原胞的面积Wb。3.由N个原子（或离子）所组成的晶体的体积V可以写为V＝Nv=Nbr3，其中v为平均一个

2、原子（或离子）所占的体积，r为最近邻原子（或离子）间的距离，b是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的b值:(1)sc结构(2)fcc结构(3)bcc结构(4)金刚石结构(5)NaCl结构。4.设两原子间的相互作用能可表示为其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；a、b、n和m均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n>m。5.设晶体的总相互作用能可表示为其中，A、B、m和n均为大于零的常数，r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r0和晶体的相互作用能U0；(2)设晶体的体积可表为V＝Ng

3、r3，其中N为晶体的原子总数，g为体积因子。若平衡时晶体的体积为V0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K为。6.设有一由2N个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式：（最近邻间）（最近邻以外）式中，l和r为参数；R为最近邻离子间距。若晶体的Madelung常数为a，最近邻的离子数为Z，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。7.由N个原子组成的一维单原子晶体，格波方程为，若其端点固定，(1)证明所形成的格波具有驻波性质，格波方程可表为；5(2)利用边界条件xN=0，求q的分布密度和波数的总数；(3)将所得结果与周期性边

4、界条件所得的结果进行比较并讨论之。8.由2N个（设N很大）带电荷±q的正负离子相间排列的一维晶体链，最近邻之间的排斥能为B/Rn，(1)试证在平衡时，晶体链的互作用能为；(2)若晶体被压缩，使，设d=1，证明在晶体被压缩过程中，外力对每一个离子所做的功的主项平均为，其中，。9.由N个原子组成的一维单原子链，原子间的相互作用能可表为，其中x为原子间距。试求(1)平衡时的原子间距x0与相互作用能u0；(2)若只考虑近邻原子间的相互作用，求原子链的弹性模量K。10.若一维单原子链的格波方程取为，证明：(1)格波的总能量为，这里m为原子质量，b为恢复力系数，求和指标

5、n遍及所有原子；(2)每个原子的时间平均总能量。11.质量分别为M和m（设M>m）的两种原子以和相间排成如图所示的一维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为b，(1)写出每种原子的动力学方程式；(2)写出格波方程式；(3)导出色散关系式。12.在坐标纸上画出二维正方晶格的前五个布里渊区图形。13.由N个原子组成的一维(链长为L)、二维(面积为S)和三维(体积为V)简单晶格晶体，设格波的传播速度为c，应用Debye模型分别计算：(1)晶格振动的模式密度g(w)；(2)截止频率wm；(3)Debye温度QD；(4)晶格热容CV；(

6、5)晶体的零点振动能E0(用N和wm表示)。14.由N个质量为m的原子组成的一维单原子链，近邻原子间距为a，相互作用的力常数为b，用格波模型求：(1)晶格振动的模式密度g(w)；(2)晶体的零点能E0；5(3)晶格的热容量CV；15.在高温下（kBT?wm），试用Debye模型求三维简单晶格频率从0到wm中总的平均声子数(已知晶体体积为V，格波的传播速度为c)。16.在高温下（T?QD），根据Debye理论证明由N个原子组成的d维晶体的晶格热容为(1)一维:CV=NkB;(2)二维:CV=2NkB;(3)三维:CV=3NkB。17.Grüneisen常数(1

7、)证明频率为wi的声子模式的自由能为；(2)以D表示体积相对改变，那么单位体积晶体的自由能可以表为其中B为体积弹性模量。假设wi(q)与体积的依赖关系为dw/w=-gD，其中g为Grüneisen常数。如果将g看作与模式无关，证明当时，F相对于D为极小。18.已知三维晶体在q»0附近一支光学波的色散关系为其中Ax、Ay、Az为大于零的常数，试求这支光学波的模式密度g(w)的表达式。19.在Debye近似下证明T＝0时，三维晶体中一个原子的均方位移为其中r为晶体的质量密度，c为声速，wD为Debye截止频率。提示：一个格波的平均能量可参考补充题10(2)及T＝

8、0时一个格波的能量。20.对于Cu，形成一个Scho