固体物理补充习题.pdf

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1、固体物理补充习题（十四系用）1.将半径为R的刚性球分别排成简单立方（sc）、体心立方（bcc）和面心立方（fcc）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为rp、rb和rf的小刚球，试分别求出rp/R、rb/R和rf/R的最大值。提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。2.格常数为a的简单二维密排晶格的基矢可以表为dai=a1d13ai=−aa+j222dd(1)求出其倒格子基矢b和b,证明倒格子仍为二维密排格子；12(2)求出其倒格子原胞的面积Ωb。33.由N个原子（或离子）所组成的晶体的体积V可以写为V＝Nv=N

2、βr，其中v为平均一个原子（或离子）所占的体积，r为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的β值:(1)sc结构(2)fcc结构(3)bcc结构(4)金刚石结构(5)NaCl结构。4.设两原子间的相互作用能可表示为αβur()=−+mnrr其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n和m均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n>m。5.设晶体的总相互作用能可表示为ABUr()=−+mnrr其中，A、B、m和n均为大于零的常数，r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体

3、中最近邻原子的间距r0和晶体的相互作用能U0；3(2)设晶体的体积可表为V＝Nγr，其中N为晶体的原子总数，γ为体积因子。若平衡时晶体的体积为V0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K为mnU0K=。9V06.设有一由2N个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式：2−R/ρeλe−（最近邻间）Rur()=2e±（最近邻以外）r式中，λ和ρ为参数；R为最近邻离子间距。若晶体的Madelung常数为α，最近邻的离子数为Z，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。7.由N个原子组成的一维单原子晶体，格波方程为xn=−Aco

4、s(ωtnaq)，若其端点固定，(1)证明所形成的格波具有驻波性质，格波方程可表为xn=An′sin(aqt)sinω；1(2)利用边界条件xN=0，求q的分布密度和波数的总数；(3)将所得结果与周期性边界条件所得的结果进行比较并讨论之。8.由2N个（设N很大）带电荷±q的正负离子相间排列的一维晶体链，最近邻之间的排斥n能为B/R，(1)试证在平衡时，晶体链的互作用能为22lNqn21⎛⎞UR()0=−⎜⎟1−；4πε00R⎝⎠n(2)若晶体被压缩，使RR00→−()1δ，设δ01，证明在晶体被压缩过程中，外力对12每一个离子所做的功的主项平均为2cδ，

5、其中，2()nq−1ln2c=。4πεR009.由N个原子组成的一维单原子链，近邻原子间的相互作用能可表为126⎡⎤⎛⎞⎛⎞σσur()=−4ε⎢⎥⎜⎟⎜⎟，⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎠xx其中x为近邻原子间距。试求(1)平衡时的近邻原子间距x0与相互作用能u0；(2)若只考虑近邻原子间的相互作用，求原子链的弹性模量K。10.若一维单原子链的格波方程取为xn=−Acon(ωtnaq)，证明：211⎛⎞dxn2(1)格波的总能量为Em=+∑∑⎜⎟β()xxnn−+1，这里m为原子质量，β为恢复力22nn⎝⎠dt系数，求和指标n遍及所有原子；122(2)每个原子的时间平

6、均总能量E=mAω。1211.质量分别为M和m（设M>m）的两种原子以a和1a相间排成如图所示的一维晶体链，3若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为β，a1amM3(1)写出每种原子的动力学方程式；(2)写出格波方程式；μn-1νn-1μnνnμn+1νn+1(3)导出色散关系式。12.在坐标纸上画出二维正方晶格的前五个布里渊区图形。13.由N个原子组成的一维(链长为L)、二维(面积为S)和三维(体积为V)简单晶格晶体，设格波的平均传播速度为c，应用Debye模型分别计算：(1)晶格振动的模式密度g(ω)；(2)截止频率ωm；(3

7、)Debye温度ΘD；(4)晶格热容CV；(5)晶体的零点振动能E0(用N和ωm表示)。14.由N个质量为m的原子组成的一维单原子链，近邻原子间距为a，相互作用的力常数为β，用格波模型求：(1)晶格振动的模式密度g(ω)；(2)晶体的零点能E0；2(3)晶格的热容量CV；15.在高温下（kBT2Zωm），试用Debye模型求三维简单晶格频率从0到ωm中总的平均声子数(已知晶体体积为V，格波的传播速度为c)。16.在高温下（T2ΘD），根据Debye理论证明由N个原子组成的d维晶体的晶格热容为⎡2⎤1⎛ΘD⎞(1)一维:CV=NkB⎢1−⎜⎟⎥;⎢36⎝T

8、⎠⎥⎣⎦⎡2⎤1⎛ΘD⎞(2)二维:CV=2NkB⎢1−⎜⎟⎥;⎢24⎝T⎠⎥⎣