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1、第二章容斥原理课后习题答案1、某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇1次，一人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？解：设Ai为甲与i个朋友相遇的会议集合，i＝1,2,…,6，根据题意，
2、A1
3、=12´C(6,1)，
4、A2
5、=6´C(6,2)，
6、A3
7、=4´C(6,3)，
8、A4
9、=3´C(6,4)，
10、A5
11、=2´C(6,5)，
12、A6
13、=1´C(6,6)，根据容斥原理，甲在会上至少遇见一位朋友的会
14、议次数为。甲在会上一人也没有遇见的有5次，根据加法法则，甲共参加会议次数为28+5=33。2、求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数。解：令A3为1到500的整数中被3整除的数的集合，A5为1到500的整数中被5整除的数的集合，A7为1到500的整数中被7整除的数的集合。根据题意，所求的整数个数为3、A、B、C三种材料用作产品I、II、III的原料，但要求I禁止用B、C作原料，II不能用B作原料，III不允许用A作原料，问有多少种安排方案？（假定每种材料只做一种产品的原料）ABCIIIIII解：
15、按题意可得如下的带禁区的棋盘，其中有阴影的表示禁区。棋盘多项式为R()=R()R()=(1+x)(1+3x+x2)=1+4x+4x2+x3故方案数=3!－4×2!+4×1!－1×0!＝14、在由a,a,a,b,b,b,c,c,c组成的排列中，求满足下列条件的排列数。(a)不存在相邻3元素相同；(b)相邻两元素不相同。解：(a)设T为a,a,a,b,b,b,c,c,c的排列全体集合，则。设A1：出现3个相邻a的排列的集合A2：出现3个相邻b的排列的集合A3：出现3个相邻c的排列的集合根据容斥原理，所求的排列数为(b
16、)设T为重集B={3*a,3*b,3*c}的排列全体集合，则。设A1为重集B1={a,X,3*b,3*c}的排列全体集合，A2为重集B2={3*a,b,Y,3*c}的排列全体集合，A3为重集B3={3*a,3*b,c,Z}的排列全体集合，其中X='aa'，Y='bb'，Z='cc'，则设A4为重集B4={a,X,b,Y,3*c}的排列全体集合，A5为重集B5={3*a,b,Y,c,Z}的排列全体集合，A6为重集B6={a,X,3*b,c,Z}的排列全体集合，其中X='aa'，Y='bb'，Z='cc'，则设A7为
17、重集B7={a,X,b,Y,c,Z}的排列全体集合，其中X='aa'，Y='bb'，Z='cc'，则根据容斥原理，所求的排列数为1680-3×980+3×620-426=1745、求从O(0,0)点到P(8,4)点的路径数，已知(2,1)到(4,1)的线段，(3,1)到(3,2)的线段被封锁。解：设S为O(0,0)点到P(8,4)点的所有路径的集合。则令A1表示S中经过线段(2,1)→(3,1)的路径A2表示S中经过线段(3,1)→(4,1)的路径A3表示S中经过线段(3,1)→(3,2)的路径，则根据容斥原理，
18、有6、求满足条件的整数解的数目。解：作变量代换则方程变为令P1为性质，P2为性质，P3为性质并设S为的非负整数解集合，Ai为S中满足性质Pi（i=1,2,3）的集合，则所求问题变成在S中计算。7、n个单位各派两名代表去出席一会议。2n位代表围一圆桌坐下。试问：(a)各单位代表并排坐着的方案是多少？(b)各单位的两人互不相邻的方案数又是多少？解：(a)首先把n个单位的两名代表分别看作一个整体，进行圆排列，然后各单位的两名代表可分别进行换位，根据乘法法则，方案是方案数为(n-1)!2n。(b)设第i单位代表相邻的方案
19、集合为Ai（i=1,2,…,n），根据容斥原理，所求方案数为8、一书架有m层，分别放置m类不同种类的书，每层n册。先将书架上的图书全部取出清理。清理过程要求不打乱所有的类别。试问：(1)m类书全不在各自原来层次上的方案数有多少？(2)每层的n本书都不在原来位置上的方案数等于多少？(3)m层书都不在原来层次，每层n本书也不在原来位置上的方案数又有多少？解：令错排数(1)方案数为(2)方案数为(3)方案数为
