多元函数微分学复习

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1、高等数学下册复习提要张祥芝高等数学下册复习------多元函数微分学本章知识点:函数定义域求法（☆）重极限、累次极限计算（☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）复合函数求导（☆☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）1.二重极限例1讨论的收敛性.析二重极限的问题一般比较复杂,一般可以先用一些特殊路径,转化成一元函数极限问题,估计出其极限,然后再用定义验证.如果极限与路径有关,则说明二重极限不存在

2、.解令其值随的不同而变化，故极限不存在．例2验证.析验证极限一般是要办法证明.解由，那么对，取.当时，有.这就证明了.例3求极限.析注意到分子是当时的无穷小量,可以考虑利用重要极限.解.练1.讨论二元函数14高等数学下册复习提要张祥芝在点的二重极限.练2.讨论函数在点的连续性.2.偏导数及全微分例1.设，求，.解方法一令，，则.由复合函数求导法则，得，即=，==.方法二利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数，.即，.例2.已知，求.解.于是，.例3.设，求14高等数学下册复习提要张祥芝解设，则，所以

3、，，从而=．例4.设函数，其中连续，问：（1）应满足什么条件，才能使偏导数，存在.（2）在上述条件下，在点处是否可微？解(1)因为，且连续，所以，要使存在，必须，即得.同理，要使存在，也必须.所以，当时，在(0,0)的偏导数存在，且,.(2)因为,在上述条件下，有，且所以，，即在（0,0）处可微.练1.设，求.练2.求在点处的全微分.练3.求的全微分.14高等数学下册复习提要张祥芝练4.证明函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在可微.3.方向导数级梯度例1.求在的梯度及沿方向的方向导数.析1)熟悉方

4、向导数和梯度概念及求法.2)需要注意的是只有在才可用求方向导数.如分段函数在分界点常用定义求出方向导数.解,而故,则在处的梯度为.又,故其方向余弦为,所以沿方向的方向导数为.练1.设函数求函数在点处沿方向的方向导数．4.多元复合函数高阶导数例1.设其中f具有二阶连续偏导数，求.14高等数学下册复习提要张祥芝析1）明确函数的结构(树形图)这里，那么复合之后是关于的二元函数.根据结构图，可以知道：对的导数，有几条线通到“树梢”上的，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说

5、就是，“按线相乘，分线相加”.2）是的简写形式，它们与的结构相同，仍然是的函数.3）f具有二阶连续偏导数，从而连续，所以.解，.练1.设其中f具有二阶连续偏导数，求.练2.设其中f具有二阶连续偏导数，求.练3.设其中f二阶可导，具有二阶连续偏导数，求.5.隐函数(组)导数例1.设，求，.析用公式法求隐函数的偏导数时，将看成是三个自变量，，的函数，即，，处于同等地位.方程两边对求偏导数时，，是自变量，是，的函数，它们的地位是不同的.14高等数学下册复习提要张祥芝解方法一用公式法，设=，则，，，===；===.方

6、法二方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求，时，将看作，的函数.方程两端对求偏导数，得即=；方程两端对求偏导数，得即=.方法三利用全微分求，.方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则，，，=，因此=，=.例2.设，求.解方法一令.则14高等数学下册复习提要张祥芝从而当时,可确定函数.利用隐函数组求导公式,有,,，。方法二方程组两端对求导，得即则，。同样方程组两端对求导，得,。方法三方程组两端求微分，得整理得解之得，14高等数学下册复习提要张祥芝，所以，，,.练1.设已知，求.练2.设

7、方程确定隐函数，求和.练3.设确定、，求，。练4.设，求，，和.6.偏导数的几何应用例1.求曲面平行于平面的切平面方程.析1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.2）切向量的求法是由曲面方程得.注意函数的确定.如果曲面方程为，那么，或.又比如如曲面，那么函数或.3）注意不要把写成，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将得出错误结论.4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线方程哟！解令，曲面在点处的法向量为，已知平面的法向量为，而

8、切平面与已知平面平行，所以，从而有14高等数学下册复习提要张祥芝，（1）又因为点在切面上，应满足曲面方程（2）(1)、（2）联立解得切点为及，所以所求切平面方程为：，或.例2.求曲线，在点处的切线及法平面方程.析1）曲线方程为参数形式在点处对应参数为，那么曲线在处的切向量为.由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为，法平面方程为.2）若曲线方程是一般式(隐函数形式)，则，那么曲线在处的切向量为.由