抽象函数问题分类解析

《抽象函数问题分类解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、抽象函数问题分类解析抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去

2、分析研究抽象函数问题,一:函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x或将x换成等2在求函数值时,可用特殊值代入3研究抽象函数的具体模型,用

3、具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.(1)、线性函数型抽象函数f（x）＝kx（k≠0）-------f（x±y）＝f（x）±f（y）(2)、二次函数型抽象函数———(3)、指数函数型的抽象函数f（x）＝ax------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝(4)、对数函数型的抽象函数f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）三：例题分析1.求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整

4、体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。例1.函数的定义域为，则函数的定义域是___。分析：因为相当于中的x，所以，解得或。例2.已知的定义域为，则的定义域是______。分析：因为及均相当于中的x，所以(1)当时，则(2)当时，则2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例3.已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函数。例4.若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。证明：设图象上任意一点为P（）与的图象关于原点对

5、称，关于原点的对称点在的图象上，又即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。3.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例5.如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为例6.设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以

6、在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。4.探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。常见结论:（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数)。（2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a是非零常数)。,则T=2a(a是非零常数)。例7.设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数

7、c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。故是周期函数，2c是它的一个周期。例8.设y=f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(－x)=f(x)与f(4－x)=f(x)，若当x∈[0,2]时，f(x)=-－x2+1,则当x∈[－6,－4]时f(x)=（）（A）－x2+1(B)－(x－2)2+1(C)－(x+4)2+1(D)－(x+2)2+15.求函数值紧扣已知条件进行迭代

8、变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例9.已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。分析：在条件中，令，得，又令，得，例10.已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以故是以8为周期的周期函数，从而例11．设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=___