推进思辨活动提升思维品质

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1、推进思辨活动提升思维品质---以一道中考试题的教学运用为例蔡卫兵（浙江省宁波市鄞州实验中学）例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，其质量的高低直接影响学生对数学基础知识和基本技能的掌握，同时也影响学生对基本思想的感悟和基本活动经验的积累，从而影响学生运用数学知识解决实际问题的能力。因此，教师在教学准备中要认真研究、准确判断和挖掘其功能和价值、进行合理的预设、引导学生进行顺势而思自然得法、对解法的思辨与优化、适度的变式拓展，使学生牢固掌握演绎推理的解题方法，深刻感悟数学思想，有效启迪数学研究方法，从而实现从知识向能力的转化和提升数学思维品质。图1本文所选例题是201

2、3年浙江省宁波市中考数学试题第17题，是一道融推理与计算于一体的创新试题，涉及圆的基本性质、扇形的面积、解直角三角形等核心知识，具有较强的综合性，重点考查学生的逻辑推理能力和计算能力。利用此题在中考专题复习中进行教学运用，意在突出对几何核心知识的综合性运用，通过深入挖掘平面几何问题内在的数学特征，将知识自然地融入到对问题的发现、提出、分析与求解的全过程中，有利于学生思维的针对性训练。现呈现此题的剖析过程，与同行交流。例如图1，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为　　．1仔细观察图形，全面捕捉信息思维是

3、核心，观察是入门。仔细观察，全面深入分析问题，准确把握几何图形特征，可充分发挥其潜在的育人功能，促进学生学会合乎逻辑地思考，促使学生自然生成解题思路。思辨1：阴影部分是什么图形？选择分别计算还是考虑转化合并整体计算？说说你审题后的判断。思辨2：扇形的面积如何计算？需要知道哪些量才能算出扇形面积？根据你所得到的初步信息，该题的关键是什么？结合图形分析已知条件，学生不难得出弧AB=弧BC，弧CD=弧DE，∠AOB+∠DOE=∠BOD=90°，两个阴影部分的面积和=扇形BOD的面积，在四边形BODC中已知∠BOD=90°，BC=4，CD=4，点B，C，D在以O圆心的圆上

4、，目标是要求出OB，OD。这些信息只需学生根据自己的学习经历，通过已知图形直接感知得到。除此从“题”中获取信息外，还要催促学生从“记忆”中索取信息。思辨3：AE是半圆O的直径，你能想起与此有关的什么知识？如何在解题中运用？思辨4：∠BOD是圆心角，点A，B，C，D，E在圆周上，你又能想起与此有关的什么知识？又能获得哪些有用的结论？思辨5：BC、CD是半圆O的两条弦，你又能想起与此有关的什么知识？又如何在解题中运用？从记忆储存中提取与题目有关的信息，作为解题继续进展的依据：圆心角定理及其推论，圆周角定理及其推论，垂径定理及其推论等等，由此让学生意识到下一步要进行的行

5、动。2整合有效信息，探寻求解思路把从题目中捕捉到的有用信息与记忆储存中提取的有关信息结合起来，进行加工、重组和再生，这实质上就是解题思路的探求。根据上面的分析，学生自然建立起已知和目标之间的内在联系和逻辑结构，辅助线的添加思路也会水到渠成，由学生展示解法。图2FGH解法1：如图2，因为弦AB=BC，弦CD=DE，所以点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，所以∠BOD=90°。过点O分别作OF⊥BC，OG⊥CD，垂足分别F，G,连结FG,BD，则BF=BC=，DG=CD=2。设圆O的半径为r，则OF=，OG=，FG=BD=，过点F作FH⊥OG,垂足为H,由∠FOG

6、=45°得OH=FH=，GH=由勾股定理得化解得，所以。所以（舍去），因此S阴影=S扇形OBD==10π。思辨6：解法1是从什么信息入手的？顺着这个思路又发现了什么？进一步将问题转化为什么问题？图3（从弦、垂径定理入手作弦心距OF，OG，由此发现∠FOG=45°和FG为ΔBCD的中位线，ΔFOG中的三边OF、OG、FG都可用半径r的代数式表示且有一个特殊角45°，所以将问题转化为解三角形的问题，通过直角三角形借力勾股定理列方程思想求解。）思辨7：所列方程方程复杂吗？作弦心距OF，OG还有其它发现吗？解法2：如图3，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边

7、形OFCG中，∠FOG=45°，则∠FCD=135°。过点C作CN∥OF，交OG于点N，则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，所以△CNG为等腰三角形，所以CG=NG=2。过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，所以OG=ON+NG=6。因此在Rt△OGD中，OD===2，下同解法1。思辨8：在解法2中是如何利用∠FCD=135°的信息？还有没有其它的利用方法？（在解法2中将135°分成90°和45°，一个利用在矩形中，一个利用在等腰直角三角形中。对于135°角，也可转化其补角45°，想到图4FGH外部构

8、造等腰直角