第4讲函数极限和性质2009

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1、《数学分析I》第4讲教案第4讲函数极限概念及其性质授课题目函数极限概念及其性质教学内容1.趋于时函数的极限2.趋于时函数的极限，3.函数的单侧极限，4.函数极限与单侧极限之间的关系定理，5.函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握当、、、、、时函数极限的分析定义，掌握函数极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性。会用函数极限的分析定义证明较简单的函数极限，会用这些性质讨论函数的极限。教学重点及难点教学重点：各种函数极限的分析定义；教学难点：函数极限性质

2、的分析证明.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当时函数极限的分析定义，会用函数极限的分析定义求函数的极限；(2)重点讲清当时函数极限的()定义，其实质是一种数学分析语言，讲明白当时函数极限的()定义的几何意义，以加深对该定义的理解；（3）函数极限的性质的分析证明是本讲的难点．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系，对于一些较好的学生要求他们能理解函数极限的局部性质．(4)通过分段函数极限实例引导学生得出左（右）

3、极限概念.作业布置作业内容：教材:1(2,3),3，4，6(1,3).讲授内容一、趋于时函数的极限例如，对于函数，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数g()=，则当趋于+时函数值无限地接近于．定义1设为定义在[)上的函数，A为定数．若对任给的>0，存在正数M()，使得当>M时有

4、

5、<则称函数当趋于+时以A为极限，记作.定义1的几何意义如图3—1所示，对任给的5《数学分析I》第4讲教案>0，在坐标平面上平行于轴的两条直线)与，围成以直线A为中心线、宽为2的带形区域；定义中的“当>M时有”表示：在直线M的右方，

6、曲线y=全部落在这个带形区域之内．如果正数给得小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线M一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M，使得曲线在直线M的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.或；或.这两种函数极限的精确定义与定义相仿，只须把定义中的分别改为或．不难证明：若为定义在上的函数，则例1证明证：任给，取，则当：时有，所以。例2证明：（1）,(2).注：当时不存在极限．二、趋于时函数的极限定义(函数极限的定义)设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数．若对任给的存在正数，使得当时有，则称函数当趋于。时以

7、为极限，记作或举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限．特别讲清以下各例中的值是怎样确定的．例3设，证明.证：由于当时，，故对给定的，只要取，则当时有，这就证明了例4证明：证：先建立一个不等式：当时有事实上，在如图的单位圆内，当时，显然有5《数学分析I》第4讲教案即，由此立得式．又当时有，故对一切都有，当时，由得综上，我们得到不等式，其中等号仅当时成立．而．对任给的只要取，则当时，就有．所以.可用类似方法证明例证明．证：当时有若限制于（此时）则，于是，对任给的只要取，则当时，便有．例6证明证：由于因此于是，对任给

8、的（不妨设）取，则当时，就有．关于函数极限的定义的几点说明：（1）定义中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所惟一确定．一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨．如在例中可取或等等．（2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势．如在例中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数．5《数学分析I》第4讲教案（3）定义中的不等式等价于，而不等式等价于．下面我们讨论

9、单侧极限．例如，函数(I)当而趋于时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于时，则应按.定义设函数在内有定义，为定数．若对任给的，存在正数，使得当,时有则称数为函数当趋于(或)时的右(左)极限，记作或右极限与左极限统称为单侧极限．在点的右极限与左极限又分别记为与按定义3容易验证函数(I)在处的左、右极限分别为，同样还可验证符号函数在处的左、右极限分别为定理3.1三、函数极限的性质定理3.2(唯一性)若极限存在，则此极限是唯一的．证：设都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得：当时有，当时有，取，则当时，(1)式

10、与(2)式同时成立，故有由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.5《数学分析I》第4讲教案定理3.3（局部有限性）若存在，则在的某空心邻域内有界．证：设．取，则存在使得对一切有，这就证明了在内有界．定理3.4(局部保号性)若(或)，则对任何正数（或，存在，使得对一切有（或）证：设，对任何，取，则存在，使得对一切，这就证得结论．对于的情形可类似地证