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《第三节二重积分的变量变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三节二重积分的变量变换在重积分的计算过程中，有一种方法可以简化计算，这就是变量变换。我们从简单的开始。定理12.10U是uv平面R2的区域，D=[a,b]×[c,d]是U子集，T是U到xy平面R2上的一一的映射（或变换），T的表达式为：(如图)如果y(u,v)有连续偏导数，那么像集T(D)={T(u,v)
2、(u,v)∈U}是可求面积的，并存在(u0,v0)∈D使得v，这里.yTDdT(D)bcabuxaU图12-3-1证明从条件可知道,T(D)由x=a,x=b,y=y(u,c),y=y(u,d),u∈[a,b]所围成的.即不妨设,即,因此T(D)是可求面积的.它的面积
3、为,由积分中值定理得,因x=u,记x0=u0,又,mD=(b-a)(d-c),故得证.类似的,我们有,定理12.11U是uv平面R2的区域，D=[a,b]×[c,d]是U子集，T是U到xy平面R2上的一一的映射（或变换），T的表达式为：如果x(u,v)有连续偏导数，那么像集T(D)是可求面积的，并存在(u0,v0)∈D使得，这里.定义定理12.10和12.11中的映射称为本原映射或本原变换.定理12.12设D是uv平面R2中的有界可求面积的闭区域，T是[a,b]×[c,d]D到xy平面R2上的本原映射，x=x(u,v),y=y(u,v),且作为向量值函数时有连续偏导数.
4、如果f(x,y)是T(D)上的连续函数,那么.vDdcuba图12-3-2证明设D包含于[a,b]×[c,d]之中（如图12-3-2）。对任取正整数n,分别将[a,b]和[c,d]作等分，过分点分别作坐标轴的平行线.这样得到D的分划.这些小矩形中,包含于D之中的小矩形全体的并记为An,而与D相交不空小矩形全体的并记为Bn.显然.记,那么Cn也是小矩形的并,且包含了D的边界.因为可求面积,所以.上面的分划,将D分成若干个小的区域,记为D1,D2,D3,……,DN.显然有.如果,那么Di是个小矩形,.由定理12.10和12.11知,存在,使得,设,注意到,T(D1),T(D
5、2),T(D3),……,T(DN)是T(D)的分划.相应的Riemann和为.其中表示所有满足的i求和,表示所有满足的i求和,并当时,取.为了方便,当时,任取,同样记,这时有.又因为在有界闭集上连续，所以存在常数K，使得，从而，而求和中的以及连续，所以存在常数H，使得≤H.故.因此,当n趋于无穷大时,.引理设D是uv平面R2中的有界可求面积的闭区域，T是D到xy平面R2上的一一映射，x=x(u,v),y=y(u,v).,作为向量值函数时有连续偏导数,且,则对任意,存在的邻域使得T在该邻域可以表达成两个具有连续偏导数的、一一的本原映射的复合.证明记.由于,此行列式中的四个
6、数至少有一个不为0.不妨设,作本原映射它的Jacobi行列式,由隐函数存在定理(或逆映射定理)得,在的某个邻域内,有逆映射使得,在T1的某个邻域内有连续偏导数.再作,则有,,即由容易知道和是一一的.现在给出一般的二重积分的变换公式.定理12.13设D是uv平面R2中的有界可求面积的闭区域，T是（a,b）×（c,d）D到xy平面R2上的一一映射，x=x(u,v),y=y(u,v),且作为函数时有连续偏导数,并.如果f(x,y)是T(D)上的连续函数,那么.证明对每一点Q=(u,v)∈D,存在它的一个邻域,T在这个邻域上可以表达成两个一一本原映射的复合.注意到是D的开覆盖,
7、由Heine-Borel有限覆盖定理得,存在其中有限多个领域:,,…,,是D的覆盖.设,那么对正整数n,由[a,b]和[c,d]的等分,得到D的分划,当n充分大时,每个小矩形的对角线的长度一定小于,那么每个与Do相交不空的小矩形一定包含于某个中,所以这样D的分划得到的小区域:D1,D2,D3,……,DN中每个必包含于某个中.,即在每个Dj上有.和都是本原一一映射.设故有.由定理12.12.因此,=.得证.例1极坐标变换,它是R2到R2的一一映射，这时的Jacobi是一般情况下，在极坐标的变换之后，可以认为是在极坐标系中的二重积分.所以二重积分中，可以写成.即.这就是极坐
8、标系中的二重积分的表达式．其计算方法也是化为二次积分来计算．设积分区域可以用不等式：来表示（如下图1２-3-3(a)），则此时二次积分化为图12-3-3若积分区域是如上图12-3-3(b)表示的区域，即可以用不等式表示，则.若积分区域是如图12-3-4所示的区域，即能用不等式表示，则图12-3-4例2求二重积分，其中区域是由围成的．解用极坐标计算，此时积分区域用不等式表示，所以．例3 计算二重积分，其中为圆的内部．解用极坐标计算，区域可以表示为．所以,．z例4 计算圆柱面所围的空间区域被球面所截的部分的立体的体积．图12-3-52
9、a
10、x
