复变函数教学教案第五章

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2、章节名称：第五章留数学时安排：6学时教学要求：理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法；理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学内容：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；2．了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3．理解留数的定义；4．熟练掌握计算留数的方法；5．理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点：留数的定义，留数的计算教学难点：用留数理论计算积分教学手段：课堂讲授教学过程：第五章留数§1、孤立奇点1.相关定义定义1设点为函数的奇点，若在点的某个去心邻域内解析，则称点为函数的孤立奇点．定

3、义2设点为函数的孤立奇点：　　⑴若在点的罗朗级数的主要部分为零，则称点为的可去奇点；　　⑵若在点的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为则称点为的级（阶）极点；　　⑶若在点的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点为的本性奇点．例：依定义，点为的可去奇点，点为的二级极点，点为的本性奇点．2.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质　⑴函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理1若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：①点为的可去奇点；

4、②；③函数在点的某个去心邻域内有界．　　⑵函数在极点的去心邻域内的性质定理2若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的．①点为的级极点；②在点的某个去心邻域内可表示为其

5、中的在点的邻域内解析，且；③点为的级零点（可去奇点视作解析点时）．定理3点为函数的极点的充分必要条件是　　⑶函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理4点为函数的本性奇点的充分必要条件是不存在，即当时，既不趋于有限值，也不趋于¥．定理5若点为的本性奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则点必为的本性奇点．例设，试求在复平面上的奇点，并判定其类别．解首先，求的奇点．的奇点出自方程的解．解方程得

6、若设，则易知为的孤立奇点．另外，因所以，由零点的定义知为的一级零点．从而知均为的一级极点．§2、留数1，定义3设为函数的孤立奇点，为圆周：，若在上解析，则称为在点的留数（或残数），记作或，即2，留数

7、计算规则：规则1如果为的一级极点，那么.规则2如果为的级极点，那么.规则3设及在解析，如果，，，那么为的一级极点，而例1设，求．解法1由定义

8、注意：这里的积分路径的半径并非只能取，只须使半径小于1即可满足定义的条件．解法2因点 为的孤立奇点，所以，在内有由此得，依（7.2）式得．解法3因点为的一级极点，则按规则1解法4因点为的一级极点，则按规则33，定义4　设为函数的孤立奇点，为圆周：，若在内解析，则称

9、为函数在点的留数（或残数），记作或，即规则4例2设，求．解取圆周，由（7.6）式得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4，定理6设区域是由围线

10、的内部构成（如图），若函数在内除含有限个奇点外解析，且在上除点外连续，则a1•c1a2•c2a3•c3an•cnGc5，定理7如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么在所有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零。　　例3　计算积分．解首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点．由

11、求出被积函数的奇点有与因，所以，，又因，故，即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点．其次，经检验，得§3、留数在定积分计算上的应用1.形如的积分通过一定的转化，可得例计算2.形如的积分通过一定的转化，可得例4计算积分．解经验证，此积分可用公式一计算．首先，求出在上半平面的全部奇点．令即

12、于是，在上半平

13、面的全部奇点只有两个：与且知道，与均为的一级极点．其次，算留数，有最后，将所得留数代入公式得3.形如的积分例5计算积分．解经验证，该积分可用公式二计算．首先，求出辅助函数在上半平面的全部奇点．

14、由解得与为的奇点，而，所以，在上半平面只有一个奇点 ， 且为的一级极点．其次，计算留数．有最后，由公式得于是容易得到与练习：P.185，13（6）教学小结：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；2.了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质；3．理解留数（也叫残数）的定义；4．熟练掌握计算留数的方法；5．理解留数基本定理，

15、熟练掌握用留数理论计算积分。作业布置：第五章习题（P.183）1（3）；8（1，3，5）；13（1，3，5）预习：<积分变换>第一章FOURIER变换