复变函数--第五章

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1、第五章保角映射保角映射在热力学、空气动力学以及电磁场理论等的研究中都有重要应用.本章从解析函数导数的几何意义出发，引出保角映射的概念，重点讨论分式线性映射及若干初等函数所构成的保角映射及其性质.§5.1映射与保角映射的概念1映射的概念2两曲线的夹角3导数的几何意义4保角映射的概念5关于保角映射的一般理论5.1.1映射的概念复变函数反映了两对变量x,y和u,v之间的对应关系，所以可以看成两个复平面中点集的对应关系.设是复平面点集D上的复变函数,即z平面中点集D为定义域,其值域G是w平面中点集,记为G=f(D),这时称w=f(z)为从D到G的映射.

2、对于称为映射w=f(z)下点z0在w平面上的像,而称z0为映射w=f(z)下点w0在z平面上的原像.同时称G为映射w=f(z)下D在w平面上的像,称D为映射w=f(z)下G在z平面上的原像.如果w=f(z)把D中的不同点映射成G中的不同点,即如果都是D中的点,那么有则称w=f(z)是从D到G的双方单值映射或一对一的映射.5.1.2两曲线的夹角当t增大时,点z移动的方向为正向.设z平面内的有向光滑曲线yxC..在曲线C上取两点:作割线P0P,规定割线的正向对应于t增大的方向.于是割线P0P与向量同向.割线C在P0处切线.C..yx当P时,沿C因为

3、C是光滑曲线,所以于是向量是曲线C的切向量,与C相切于点规定的方向为C上点z0处切线的正向.C.yx(1)C在点z0处切线正向与x轴正向之间的夹角是(2)设z平面内的两条有向光.滑曲线和相交于z0(t=t0)点.规定z0处曲线C1和C2正向之间的夹角为两条曲线在z0处切线正向之间的夹角.5.1.3导数的几何意义所以C.yx设w=f(z)在区域D内解析,且在D内(1)的几何意义设是D内过的有向光滑曲线,t增大的方向为正向.于是w=f(z)将z平面上有向对于因为C光滑,光滑曲线t增大的方向C.yxvu.光滑曲线C映射成w平面内过点的有向为正向,且是

4、曲线G在w0处的切向量.因为所以曲线G在w0处切线正向与u轴正向之间的夹角曲线C在z0处切线正向与x轴正向之间的夹角如果将x轴与u轴重合,将y轴与v轴重合,即将z平面与w平面重叠,那么曲线C在z0处的切线转动之后与曲线G在w0处的切线方向一致.在这个意义上,就是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.显然转动角与C无关.如果是过z0点的D内两条有向光滑曲线，则在映射w=f(z)下,C1和C2在w平面上的像分别为并且因此..所以G1和G2在w0处的夹角C1和C2在z0处的夹角过z0两条光滑曲线C1、C2在z0处夹角的大小与方向和在映射w=f

5、(z)下的像G1、G2在w0处夹角的大小与方向相同,即时,映射w=f(z)具有保角性.Cvuyx....(2)的几何意义当时,是映射w=f(z)在z0处的伸缩率.它与C无关,即映射w=f(z)具有伸缩率不变性.5.1.4保角映射的概念定义5.1设w=f(z)在点z0的邻域内有定义.如果w=f(z)在z0处具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0处是保角映射.如果w=f(z)在区域D内的每一点都是保角映射,则称w=f(z)是区域D上的保角映射.定理5.1若w=f(z)在z0处解析,且则w=f(z)在z0处是保角映射.若w=f(z)在区

6、域D解析,且在D内则w=f(z)是区域D上的保角映射.例5.1w=z2在z0处是保角映射,但在z=0处不具有保角性.解因为所以当z0时,因此在z0处,w=z2是保角映射.当z=0时,在z平面内取过z=0点的两条射线为(z)(w)(正实轴)和不保角5.1.5关于保角映射的一般理论实际上,逆定理也成立.因此映射w=f(z)是区域D上的保角映射的充分必要条件是f(z)在D内解析,并且并且可以证明如果f(z)是区域D上不恒为常数的解析函数,则点集G=f(D)是w平面上的区域,即解析函数把区域映射成区域.基本问题:(1)给定两个区域D和G,是否存在

7、双方单值的保角映射,把D映射成G?(存在性问题)(2)如果存在这样的映射,如何求出?(实现性问题)关于存在性问题，有下面的Riemann定理.定理5.2如果D和G分别是z平面和w平面平面上边界多于一个点的单连通区域,则存在双方单值的保角映射w=f(z),把D映射成G.Riemann定理中的保角映射f(z)不一定惟一.但如果再加一些条件,如(其中),则存在惟一的保角映射w=f(z),使得注边界不多于一个点的情形:(1)扩充复平面(没有边界点);(2)扩充复平面除去一个点,例如无穷远点(只有一个边界点).关于实现性问题,可利用下面的边界对应原理.定

8、理5.3设D是z平面内由一条分段光滑Jordan曲线C围成的区域,f(z)是D及其边界C上的解析函数，并把C双方单值地映射成w平面上的光滑曲线G.如果