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《简化解析几何运算的若干方法和技巧》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、直击高考思想方法系列之八简化解析几何运算的若干方法和技巧众所周知，运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一；若在解题时选择的方法不恰当，又不注意探求优化解题过程、降低运算量的方法和技巧，则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔，导致解题失败。现介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧，供大家参考。一、巧用定义对于涉及圆锥曲线的焦点、准线有关的问题，若能恰当地利用圆锥曲线的定义，则能收到其他方法技巧所无法达到的效果。例1给定A(-2,2),已知点B是椭圆上的动点，F是左焦点，当
2、AB
3、+
4、BF
5、取最小值时，求点B的坐标。解：如图1，由题意可知：a=5,b
6、=4,c=3,e==,左准线方程为：x=-,过B点作左准线的垂线，垂足为N，过点A作左准线的垂线，垂足为M，由椭圆的定义可知：
7、BN
8、=
9、BF
10、=
11、BF
12、,于是，
13、AB
14、+
15、BF
16、=
17、AB
18、+
19、BN
20、≥
21、AN
22、≥
23、AM
24、,当且仅当点B是AM与椭圆的交点时取等号，此时B(,2)。所以，当
25、AB
26、+
27、BF
28、取最小值时，点B的坐标为B(,2)。评注：本题运用了椭圆的第二定义，真正发挥了定义的解题功能，达到了优化解题的目的。二、巧用数形结合数形结合是解析几何的基本思想，它是在深刻分析方程或已知条件中的几何性质之下，以形助数的方法，往往使问题简捷、清晰地
29、得以解决。例2椭圆的焦点为F1，F2。点P为其上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。解：设以原点O为圆心，OF1（值）为半径的圆与椭圆交一于A，B，C，D（如图2），易求得其横坐标分别是.由此可知：当点P在椭圆弧AB和CD上，即在圆x2+y2=5内部，那么∠F1PF2是钝角，故有评注：本题若直接设椭圆上一点的横坐标，利用余弦定理来解，其运算量较大；现巧妙地借助于形，不但减少解题运算量，也给人一种耳目一新之感。三、巧设而不求在解答解析几何问题时，常常涉及曲线和曲线的交点，若要求交点，不但运算繁冗而且易出错，若能设而不求，
30、则能使运算简捷许多。例3给定双曲线（1）过点A(2,1)的直线l与双曲线交于P1，P2，求线段P1P2中点P的轨迹方程：（2）过点B（1，1）能否作直线m交双曲线于Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点，这样的直线若存在，求出方程，若不存在，请说明理由。解：（1）设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有，两式相减，得即x1①因为P、A两点在直线l上，所以(x1)故若x1x2则p(2,0)也满足方程。即2x2-y2-4x+y=0为所求P点的轨迹方程。（2）假设存在这样的直线m，设其斜率为k，则由①式得：，所以直线m的方程式为y-1=
31、2(x-1),即2x-y-1=0。代入双曲线方程并整理得2x2-4x+3=0,其判别式△=-8<0,所以直线m与双曲线交于两点矛盾，故这样的直线m不存在。评注：本例是直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题，运用韦达定理和点差法是两种典型的设而不求的通法，而点差法较之运用韦达定理简捷，但并非过每点都存在圆锥曲线的中点弦，因此要进行验证。四、巧用韦达定理在解题过程中，若能巧妙运用韦达定理，对于简化运算过程往往能起到意想不到的效果。例4已知椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，O为短轴的一个端点，设P、Q为椭圆上异于O的任意两点，且OP⊥OQ，M是O在PQ上
32、的射影，求点M的轨迹方程。解：如图3建立坐标系，则椭圆方程为,即.设PQ方程为mx+ny=1，将其代入椭圆方程，得：,将其化为.设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为OP⊥OQ,所以,即，推得,所以PQ方程为,即直线PQ过定点N（0，),所以点M在以ON为直径的圆上（除原点），所以点M的轨迹方程为评注：上述解法的可取之处是构造出关于的一元二次方程，使得OP⊥OQ能和它直接“对话”，极大的缩短了解题过程。五、巧用平面几何知识平面几何是解析几何的基础，在解答解析几何问题时，若能巧妙地利用平面几何知识，则常会出现“柳暗花明又一村”的感觉。例5过抛
33、物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）A.B.C.D.解：如图4，设AB的中点为Q，抛物线的准线为l交x轴于点E，作AM⊥l于M，BN⊥l于N，则△AMF为正三角形，则
34、EF
35、=4，所以∠MFE=60°，∠NFE=30°，
36、ME
37、=，
38、NE
39、=，由此可得：
40、AF
41、=
42、ME
43、=8,
44、BF
45、=
46、NE
47、=因此QF=，PF=2QF=,故选（A）。评注：本题的常规解法是设法求出线段AB的中垂线的方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长；上述解法通过对抛物线
48、上的点到焦点的距离和到准线的距离间的相互转化，然后运用平面几何的知识，挖掘“形”对“数”的作用，使其解法比较简捷。六、巧用切点弦在解析几何中与切线有关
