简化解析几何运算方法

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1、简化解几运算八法解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。1.回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。例1过椭圆左焦点倾斜角为的直线交椭圆于点且，则此椭圆离心率为解析本题的常规解法是：联立再结合条件求解，运算量大，作

2、为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：，另一方面，在中,故于是，又，所以可得例2一种酒杯是抛物线绕轴旋转而成的，将长为的玻璃棒（质地均匀）随意的放入酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒），试确定玻璃棒的平衡位置。解析：确定平衡位置即求玻璃棒中点到轴距离的最小值，如图2，应用抛物线的定义进行简捷求解：当时弦可以经过焦点，如图2所示：，所以显然当时平行于轴时最小为2．活用平几性质解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图

3、形的几何性质，并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷巧妙解题之效果.例3已知点到两定点的距离比为，点到直线7的距离为1，求直线的方程。(02年全国高考题)解析本题若按常规做法为：设，则的方程为，即，于是①又②（注：满足上述条件的点的轨迹为阿波罗尼奥圆即圆）将①代入②可得，于是因此直线的方程为若能进一步观察题设条件：如图3，在中斜边，直角边可得，在中由正弦定理得于是因此直线的方程为评注：本题为02年全国高考文科第21题，分值为14分，重点考查学生通过联立①②消参解方程组的运算能力，对文科学生的运算能力提出了较高的要求；通过上述通法与巧法对比，读者容

4、易看出：运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题，可以有效地避免复杂的解几运算，以达简捷解题之目的。例4某人在一山坡处观看对面山顶上的一座铁塔，如图4所示，塔高米，塔所在的山高米，米，图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，试问此人距离水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人身高）？（05年天津卷高考题）解析解析法可详参高考评分标准，这里给出利用平面几何知识的简捷解法：如图5，作圆过点且与直线相切，切点的纵坐标即为所求。设直线与轴交于点，则易得由圆幂定理得于是为所求.注：这道源于生活实际的高考试题，具有深厚的科学背景---来源于

5、几何学史上著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大。”7如图6，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点（证明略）以米勒问题为背景改造的高考题和竞赛题还有①０４年全国联赛题第１２题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大时，点的横坐标为②05年浙江卷理第17题：如图7，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，

6、MA1

7、∶

8、A1F1

9、＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线：x＝m(

10、m

11、＞1)，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)(文科为：若点P为上的动点，

12、求∠F1PF2最大值)上述试题若使用圆幂定理来求解，都极为简单（略）。例5已知内接于圆的的顶点为，求的重心的轨迹方程。解析本题若设，则有，，，，再由夹角公式得，由以上5个等式消去参数得。值得注意的是：消参具有很高的技巧，一般学生难以做到！这里给出以下做法：如图8，设为的中点，连结，则由得故点的轨迹方程为①设重心,,则代入①式可得.下面用运动变化的观点考察点的横坐标的取值范围：如图9,点运动的极限位置是,这时，于点，则且，作于点得点最靠左的位置为时，此时于是解得故所求轨迹方程为注1本题若用三角法可解如下：设，由知，设则，7于是。又而，，故所求轨迹方程为2若是用通法

13、，结合图形的几何性质可简解如下：由，，，得而由得，故。（限制变量的取值范围方法同上）3．数形结合对于某些几何特征比较明显的问题，常可从分析图形本身所固有的几何特征入手，或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律，往往可简捷获解。例6是已知椭圆上的两点，线段垂直平分线与轴交于点，求证：（92年全国卷）简析着眼于寻求“线段垂直平分线”的几何意义，可考虑构造圆（如图10）①，它与椭圆②有四个不同交点（或3个，当之一为长轴端点时），由①②消去得-③，方程③有两个不同实根，则，即。，又，.例7设点，动点在椭圆上且满足，试求的取值范围。解析本题简捷的解法是从数形结合

14、的角度用运动变化的观点进