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1、参数方程应用专题1.分析一：注意到变量（x，y）的几何意义，故研究二元函数x+2y的最值时，可转化为几何问题。若设x+2y=t，则方程x+2y=t表示一组直线（t取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x，y）既满足2x2+3y2=12，又满足x+2y=t，故点（x，y）是方程解法一：分析二：由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x，y满足的方程2x2+3y2=12表出x或y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢？解法二：［注］以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题，解法一是通过引入t，而把x+2y几何化为直线的
2、纵截距的最值问题；解法二则是利用椭圆的参数方程，设出点P的坐称为“参数法”。2.求椭圆2.解：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系）3.已知实数满足，求的最值。解：设圆的参数方程为⑴，最大值与最小值分别是⑵，最大值与最小值分别是19与-11。4．（1984年高考题）在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10,，P为△ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。解：由，运用正弦定理，可得：∵sinA·cosA=sinB·cosB∴sin2A=sin2B由A≠B，可得2A=π-2B。∴A+B=，则△ABC为直角三角形。又C=10,，可
3、得：a=6,b=8,r=2如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为，从而因0≤θ＜2π，所以所最大值与最小值是88，725．设直线，交椭圆于A、B两点，在椭圆C上找一点P，使面积最大。解：设椭圆的参数方程为，则，到直线的距离为：，当，即时，此时，所以6．求直线的参数方程，并说明参数的几何意义。解：设，M是直线上任意一点，则表示有向线段的数量。7．已知：直线过点，斜率为，直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为，求（1）两点间的距离。（2）点的坐标。（3）线段的长。解：由得：，所以直线的参数方程为，代入化简得：，（1）（2）所以（3）8.分析与解：方法之一可把直线的参数方程化为
4、普通方程，与双曲线方程联立，消元，再结合韦达9直线，则AB的中点坐标为__________。9.中点坐标为（把代入，设A、B对应的参数分别为，则AB中点对应的参数为，将代入直线参数方程，可求得中点的坐标。）10(1)写出经过点，倾斜角是的直线l的参数方程；(2)利用这个参数方程，求这条直线l与直线的交点到点M0的距离。(3)求这条直线l和圆的两个交点到点M0的距离的和与积。解：(1)(2)(3)把代入化简得：，11求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆所得的弦长。解：直线的参数方程为代入化简得12．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线方程是．过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴
5、交于点，并且点在线段上，又满足．求双曲线的方程；解：由双曲线渐近线方程是，可设双曲线的方程为：．把直线的参数方程方程代入双曲线方程，整理得，设对应的参数为，得由韦达定理：，令，得，，由得，所以，双曲线的方程为．13．已知ll,l2是过点P()的两条互相垂直的直线,且ll,l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2.若
6、A1B1
7、
8、A2B2
9、,求ll,l2的方程.13．设的参数方程为：，则的参数方程为：，即把它们代入得：，设对应的参数是，由韦达定理得，同理：由得：，化简得：，，所以所求的直线方程为：．]14.已知直线过点,且与轴轴的正半轴分别交于A,B两点,求的值为最
10、小值时的直线的方程.15.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值参数26横坐标10纵坐标67根据数据,可知直线的参数方程为,直线被圆截得的弦长为,16.给出两条直线,斜率存在且不为0,如果满足斜率互为相反数,且在轴上的截距相等,那么直线叫做孪生直线.(1)现给出4条直线:;;;(2)给出两条直线,那么构成孪生直线的条件是什么?(1)；(2)且17．已知点和双曲线，求以为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线的方程。解：设所求的直线的方程为：代入化简得：，，所求的直线的方程为：18．过点作双曲线右支的割线BCD，又过右焦点F作平行于BD的直线，交双曲线于G、H两点。（1）求证：；（2）设M为弦CD
11、的中点，，求割线BD的倾斜角的正切值。证明：（1）设代入得：设代入得：（2）由（1）知，，F到BD距离为，19．从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积。解 化方程为参数方程：（θ为参数）设P为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。于是，直线BP的方程为：直线AP的方程为：令y=0代入AP，BP,的方程，分别得它们在x轴上的截距为，故截距之积为：
