导数及其应用[1]板块五微积分与定积分的应用学生

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1、板块五.微积分与定积分的应用知识内容1．函数定积分：设函数定义在区间上．用分点，把区间分为个小区间，其长度依次为．记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于．在每个小区间内任取一点，作和式．当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即．其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限．叫做被积式．此时称函数在区间上可积．2．曲边梯形：曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．根据定积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的定积分，即．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分

2、割．在区间中插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限．3．求积分与求导数互为逆运算．，即从到的积分等于在两端点的取值之差．4．微积分基本定理如果，且在上可积，则，其中叫做的一个原函数．8由于，也是的原函数，其中为常数．一般地，原函数在上的改变量简记作，因此，微积分基本定理可以写成形式：．典例分析题型一：定积分的概念【例1】求围成图形面积．【例2】根据定义计算积分．【例3】根据定义计算定积分．【例4】根据定义计算

3、积分．【例5】求定积分．【例6】等于（）A．B．C．D．【例7】求定积分．【例8】由及轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．【例9】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（）A．B．C．D．8【例1】求曲线以及直线，，所围成的图形的面积．【例2】已知函数，⑴试用定积分表示与轴围成的介于与之间的平面图形的面积；⑵结合的图象猜出的值；⑶试将上述问题推广到一般的情况．【例3】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一

4、定正确的是（）A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面【例4】设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数，…，和，…，，由此得到个点，在数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为．【例5】（）A．B．C．D．【例6】函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为_____________．题型二：微积分基本定理【例7】______．8【例1】_______．【例

5、2】______．【例3】______．【例4】___________．【例5】函数，求．【例6】下列等于1的积分是（）A．B．C．D．【例7】（）A．　　B．C．D．【例8】计算下列定积分的值：⑴；⑵；⑶．【例9】（）A．B．C．D．【例10】曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．【例11】=（）A．B．C．D．【例12】（）A．B．C．D．8【例1】．【例2】由曲线、直线、和轴围成的封闭图形的面积为．【例3】设函数．若，，则的值为________．【例4】若，则________．【例5】若，则等于（）A．B．C．或D．不确定【例6】已

6、知，则二项式展开式中含项的系数是．【例7】已知，若，则．【例8】求的值．【例9】，则实数．【例10】的值等于（）A．B．C．D．【例11】＝（）A．B．C．D．【例12】，则______．【例13】_______．【例14】已知，且，，，求、、的值．【例15】已知函数，则（）A．B．C．D．【例16】试用定积分表示由直线，，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．8【例1】试用定积分表示由直线，，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【例2】从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为．【例3】由曲线，围成的封闭图形面积为（）

7、A．B．C．D．【例4】设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（）A．B．C．D．【例5】已知自由落体的速度为，则落体从到所走过的路程为（）A．B．C．D．【例6】若，则实数的值为．【例7】由直线，，曲线及轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．【例8】给出以下命题：⑴若，则；⑵；⑶的原函数为，且是以为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．08【例1】给出下列四个命题：①已知，点到直线的距离为1；②若，则函数在取得极值；③，则函数的值域为；④在极坐标系中，点到直线的距离是．其中真命题是（把你

8、认为正确的命题序号都填在横线上）【例2】直线与抛物线所围成图形的面积为．【例3】如图，求曲线，及直线所围成的封闭图形的面积．【例4】求曲线与轴所围成的