高中抽象函数解题策略初探

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1、读写算2011年第39期数学教育研究高中抽象函数解题策略初探李鹤呜(临海市大田中学浙江临海317004)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了其他解：设g(x)=ax+bsinx，显然g(x)是奇函数，。‘一些条件的函数．它是高中数学函数部分的难点之一．解决这类．f(一3)=7，’问题既能全面考查学生对函数概念的理解及性质的推理和论证．．f(一3)=g(一3)+3=一g(3)+3=7=g(3)=一4，’能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力．因．．f(3)=g(3)+3=-4+3=-1．此，这类题型备受高考命题者的青睐．本人根据几年来的教学经

2、3．利用周期性验，从几个角度阐析求解抽象函数问题的策略．例5：设函数f(x)在R上是奇函数，f(x+2)=一f(x)，当O

3、厂f1例1：若函数f(x)与g(x)在R上有定义，且f(x—y)=f(x)g(y)-g例6：已知函数f(x)满足f(1)=2，f(x+1)=，~lJf(2007)(x)f(y)，f(-2)=f(1)≠0，则g(1)+g(1)=一解：因为f(x—y)=f(x)g(y)一g(x)f(y)，这是两角差的正弦公式1+!±模型，又f(一2)=f(1)≠0，则可取_厂()=sin!±!±l_)：二：一一1一f(x+1)1一±!!，()于是：f(一1—1)=f(一1)g(1)-g(一1)f(1)1一_厂()==>sin(一)=sin(一)g(1)一g(一1)sin从()一)，=

4、=>—,／3,／3．．f(x)是以4为周期的周期函数，：一—g(1)一g(一1)==>g(1)+g(一1)：一1．11’··_，(。。))一斋一i‘例2：设函数f(x)是定义在R上的减函数，且满足f(x+y)=f(x)14．利用对称性f(y)，f(一3)=8，则不等式f(x)f(x一2)<的解集为——·例7：已知f(x)是奇函数，定义域为{xlx∈R，X≠0}，又f(x)在解：因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)，这是指数函数模型，区间(0，+一)上是增函数，且f(一1)=0，则满足f(x)>0的x的取值区间是——．又f(一3)一8，则可取f(x)=

5、(÷)，解：依已知条件作出f(x)的大致图象，如图l所示，从图象中可看出，当f(x)>0时，x的取值区间是(一1，0)U(1，+m)．l·f(x)f(x一2)8，解不等式，得x>5，．．不等式的解集为{xlx>5}．／／二、利用函数性质函数的特征是通过函数的性质反映出来的，抽象函数也不例外，只有充分利用题设条件所表明的函数的性质，灵活进行等r／0／l价转化，抽象函数问题才能峰回路转、化难为易．1．利用单调性图1例3：设f(x)是定义在(0，+oo)上的增函数，满足f(xy)=f(x)+f例8：定义在(一oo，+co)上的函数y=

6、f(x)在(一co，2)上是增函(Y)，f(3)=l，解不等式f(x)+f(x一8)≤2．数，且函数y=f(x+2)为偶函数，~lJf(一1)，f(4)，f(6)的大小关系为一解‘．‘函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=l，‘解：设F(x)=f(x+2)，．．2=1+l=f(3)+f(3)=f(9)，’’由f(x)+f(x一8)≤2，得f[x(x一8)】≤f(9)，．F(x)为偶函数，‘．．‘F(-x)=F(x)，即f(2+x)=f(2一x)，．函数f(x)是定义在(0，+。。)上的增函数，‘．．函数f(x)的图象关于直线x=2对称，广x>O

7、，’．．f(一1)=f(5)，则瑚0，。≤，‘．f(x)在(一。。，2)上是增函数，Lx(x-8)≤9．．．f(x)在(2，+m)上是减函数，’．．．．不等式解集为{xl8

8、函数，但我