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1、“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例之二平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐标表示上海曹杨二中 桂思铭一、内容和内容解析 本课时内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征，而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标及坐标运算，并运用向量的坐标运算来解决问题，更多的是向量的代数形态，本节内容从前面的知识中得出平面向量基本定理，并以此为基础定义向量的坐标，所以本节内容是向量中承前启后的内
2、容.作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程.向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.就学生的数学学习而言，这一内容也是体会数学化的一个很好的过程
3、，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，(实际上也有教材是不出现向量基本定理直接进行向量坐标运算的,教材安排它的作用可能更多地在于体现数学结构体系的完备性)它有助于学生体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学的思考和数学的说理.所以它在学生的学习上也具有十分重要的地位. 二、目标和目标解析1.理解平面向量的基本定理，具体要求为： (1)运用已有的向量知识研究平面向量的基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程; (2)体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用;(3)将
4、向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系，指出这样的对应奠定了向量建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义. 2.理解向量坐标的定义,并能用坐标表示坐标平面上的向量，具体要求为： (1)结合学生在物理中已有的认知,来进一步从数学上学习正交分解及其意义； (2)结合向量及平面直角坐标系的相关基础正确把握坐标向量的几何意义. 3.反思向量坐标的建立过程,体会平面向量坐标建立的过程及平面向量基本定理的作用和意义. 三、教学问题诊断分析 前面学生已经掌握了平面向量的线性运算,本节课的目的是
5、要帮助学生建立向量的坐标.这中间实际上有两个问题,先是运用已有的知识去研究一个问题(向量的基本定理),然后以这个定理为基础建立一个新的研究体系(建立平面向量的坐标) 本节的内容是围绕向量在两个基底上的唯一分解展开的，对于基底的认识和理解是学生在学习中已在运用的,在物理中已有了将力、速度（向量）进行分解合成的经验，在前面的向量学习中已有向量线性运算的经验，只是没有专门提出而已,所以引入基底这一概念应该是比较自然的，但相当一部分学生在学习中只是依样画葫芦，并不清楚引入基底这个概念的意义，当然更不能很好地选择、运用基底
6、进行运算求解,有了平面向量基本定理教师可以运用定理说理，让学生理解基底的作用及意义.所以在这一点上教师应注意在教学中进行设计引导. 对于平面向量的基本定理,有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,从卷面上看学生可能不会有什么大的问题,但学生对于数学的理解肯定会产生影响,所以在这一内容的教学中教师要不断地帮助学生进行反思,通过对教学过程的反思来帮助学生改进学习方法,这也是改善学生的思维品质,提升学生的数学能力的一个途径,这一过程是隐性的、长期的，但这也是必须的. 学生在向量的学习中存在的一个困难是学生在
7、理解始点不在坐标原点的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量的坐标只是和从原点出发的向量一一对应,但只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这一难点,不过值得注意的是在后面学生用向量求点的坐标时还会产生问题,如已知了向量及点的坐标求点的坐标,有些学生还会发生错误,这时还必须结合图形及向量的坐标帮助学生进行理解,必须使学生在这种特定的场合中明白:要求点的坐标就是要求向量的坐标.同样一个问题也需要学生从不同的侧面来帮助理解. 四、教学支持条件分析 这里对于平面向量基
8、本定理的研究,并不是严格的证明,为了能便于说明问题建议通过教育技术的运用来帮助学生理解,这一过程最好能在教学中有充分地展现,这也是关注教学过程,帮助学生养成动手动脑的习惯.另外现在的许多软件具有很强的交互性,所以在教学中可以充分地运用技术,使学生的学习富有乐趣,同时又可以通过不同的方式来刺激学生,帮助学生迅速地掌握教学内容. 五、教学过程设计. 1.平面向量基本定理问题1
