随机过程试题及答案

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1、1.设随机变量X服从参数为的泊松分布,则X的特征函数为。2.设随机过程其中为正常数,和是相互独立的随机变量,且和服从在区间上的均匀分布,则的数学期望为。3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为的同一指数分布。4.设是与泊松过程对应的一个等待时间序列,则服从分布。5.袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回,对每一个确定的t对应随机变量,则这个随机过程的状态空间。6.设马氏链的一步转移概率矩阵,步转移矩阵,二者之间的关系为。7.设为马氏链,状态空间,初始

2、概率,绝对概率,步转移概率,三者之间的关系为。8.设是泊松过程,且对于任意则9.更新方程解的一般形式为。10.记。得分评卷人二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分)1.设为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式:。2.设{X(t),t³0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t),t³0}是一个马尔科夫过程。3.设为马尔科夫链,状态空间为,则对任意整数和,步转移概率,称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程,证明并说明其意义。共6页第9页共6页第10页4.设是强度为的泊松过程,是一列独立同分布随

3、机变量,且与独立,令,证明:若,则。得分评卷人三、计算题(本大题共4道小题,每题8分,共32分)1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为,求其平稳分布。2.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为,而今天无雨明天有雨的概率为;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。共6页第9页共6页第10页4.设有四个状态的马氏链,它的一步转移概率矩阵

4、(1)画出状态转移图;(2)对状态进行分类;(3)对状态空间进行分解。得分评卷人四、简答题(本题6分)简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。共6页第9页共6页第10页一.填空题1.为。2.。3.4.5.。6.。7.。8.9。10.二.证明题1.证明:左边==右边2.证明:当时,==,又因为=,故=3.证明:===,其意义为步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。4.证明:由条件期望的性质,而===,所以。三.计算题(每题10分,共50分)1.解:解方程组和,即解得,故平稳分布为2.解:

5、设是顾客到达数的泊松过程,,故,则3.解:由题设条件,得一步转移概率矩阵为,于是,四步转移概率矩阵为共6页第9页共6页第10页,从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为。4.解:(1)图略;(2)均为零,所以状态3构成一个闭集,它是吸收态,记;0,1两个状态互通,且它们不能到达其它状态,它们构成一个闭集,记,且它们都是正常返非周期状态;由于状态2可达中的状态,而中的状态不可能达到它,故状态2为非常返态,记。(3)状态空间可分解为:四.简答题(6分)答:(略)共6页第9页共6页第10页

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