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1、第33卷第1期武汉科技大学学报Vol.33,No.12010年2月JournalofWuhanUniversityofScienceandTechnologyFeb.2010一类线性约束下非光滑非线性规划问题的优化研究张鹏(武汉科技大学管理学院,湖北武汉,430081)摘要:提出了一类线性约束下非光滑的非线性规划问题,运用线性拟合凹函数分段法和不等式组旋转算法进行求解,并证明了该算法的收敛性。关键词:非线性规划问题;非光滑;旋转算法;分段法中图分类号:O221.2文献标志码:A文章编号:167423644(2010)0120105204关于线性约束下的非线
2、性规划问题有过很多效性。的研究。Zangwill提出了次优化方法,其原理是1线性约束下连续不可微的非线性将规划问题转化为一系列含等式约束的子问题,通过寻找最优解所在的流形使用无约束规划的方规划模型[1]法求解原问题;Spedicato等运用ABS算法分1.1模型描述别求解含线性等式约束和含线性不等式约束的非设非光滑的非线性规划模型为[2]n线性规划问题;Linderoth运用DC函数和双线TxHx1minf(x)=-∑(rixi-ci(x))性函数的线性下界函数提出求解非凸二次约束的22i=1[3]T非凸规划问题的分支定界算法;Vanden2gix=bii
3、=1,2,⋯,lbussche等运用分支定界法求解具有箱形约束的Ts.tgix≥bii=l+1,2,⋯,m(1)[4]非凸二次规划问题;Li提出分解算法求解大规0≤xi≤ai[5]模二次规划问题;Achache扩展了内点算法,提式中:H为正定或半正定矩阵;gi=(gi1,⋯,出了原始对偶路径依赖法求解凸二次规划问gin),i=1,⋯,n;f(x)为非光滑的非线性函数,其[6]题;王永丽等提出滤子内点算法求解正定二次决策变量的交叉项为二次,非交叉项由线性函数[7]规划问题;高岳林等提出了求解凹二次规划问和凹函数构成。ci(xi)为非光滑的凹函数,如图1题的一
4、个融合割平面方法的分支定界混合算法,所示。[8]并证明了算法是收敛的;赵敏等采用序列二次规划方法,将非线性规划转化为一系列二次子规划求解,并用信赖域二次规划的方法求解子规划[9]问题,一定程度上降低了算法的复杂程度;夏少刚等提出了一种新的简易算法求解具有箱形约束的二次规划问题,并讨论了算法的有限步收敛[10]性;张鹏等结合序列二次规划法和不等式组的旋转算法求解线性约束连续可微的凸规划问图1非光滑凹函数题[11212]。上述问题的目标函数均是光滑的。Fig.1Nonsmoothconcavefunction本文提出了一类线性约束下非光滑非线性规1.2模型分析
5、划问题,采用分块法和不等式组的旋转算法对该ci(xi)为非光滑的凹函数,可用线性函数加问题进行求解,同时还证明该算法的收敛性和有以拟合,如图2所示。收稿日期:2009208224基金项目:国家自然科学基金资助项目(70471077);教育部人文社会科学研究项目(08JC630062);湖北省教育厅人文社科研究项目(2008q115).作者简介:张鹏(19752),男,武汉科技大学副教授,博士.E2mail:zhangpeng300478@yahoo.com.cn106武汉科技大学学报2010年第1期X2={x
6、as/2≤xs≤as,0≤xj≤aj,j≠s}
7、(8)cs(xs)可通过cs1(xs1)和cs2(xs2)线性拟合,如图3所示。图2非光滑凹函数的线性拟合Fig.2Lineardenotationofthenonsmoothconcavefunction图2中,OB为ki(xi)=kixi,ki=ci(ai)/ai。图3非光滑凹函数分段线性拟合用ki(xi)代替ci(xi),则模型(1)可以转化为以下Fig.3Subsectionlineardenotationofthenonsmoothcon2模型:cavefunctionnTxHx1ming0(x)=-∑(rixi-kixi)图3中,直线OA为cs
8、1(xs1),斜率ks1=22i=1cs(xs1/2)/(xs1/2);直线AB为cs2(xs2),斜率ks2Tgix=bii=1,2,⋯,l=(cs(as)-cs(as/2))/(as/2)。则模型(2)可转化Ts.tgix≥bii=l+1,2,⋯,m(2)为下列两个模型:0≤xi≤aiTxHx定理1当x分别为模型(1)和模型(2)的可ming1(x)=2-行解,则n1g∑[rixi-kixi]+rsxs-cs1(xs1)0(x)≤f(x)(3)2i=1,i≠s证明T:因为ci(xi)为凹函数,所以ci(xi)≥gix=bii=1,2,⋯,lkTixi,
9、则s.tgix≥bii=l+1,2,⋯,m(9)nnx∈X1∑ci
