基于图像域统计迭代ct重建算法的研究

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？．．，贫丑Ｍｉ分冀學Ｐ毁１．攀憧代稱Ｓｉ；ＴＳＯ＃臟餘５＃号＾．＾馨枯．．．；ＮｏｒｔｈＵｉｉｉｖｅｊｒｓｉｔ．ＹＯｆＣＷ巧ａ硕击学位论文＇？．：■．．－＇基于图像域统计迭代ＣＴ重建算法的硏究硕出願窥生张芳．指导獅＿＿？ＳＳＢ＿ＳＳ＿＿＿＇—＇—．麵Ｈ 原创性声明本人郑重声明，独；所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论女不包含研成果。对本文的研究作出重要贡其他个人或集体已经发表或撰写过的科献的个人和集体。本声明的法律责任由本人，均已在文中从明确方式标明承担。：日期：办你巧嫂论文作者签名关于学位论文使用权的说明：本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括①学校有权保管、并向有关部口送交学位论文的原件与复印件；③学校可Ｗ采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；③学校可允许学位论文被查阔或借阅；④学校可！＾乂学术交流为目的，复制贈送和交换学位论文（保密学位论文在解密；⑤学校可故公布学位论文的全部或部分内容后遵守此规定）。加辟如引每涕若日期：签名：３／岛：起污＾节日期＿，导师签名：韦利 图书分类号TP391密级非密UDC硕士学位论文基于图像域统计迭代CT重建算法的研究张芳指导教师（姓名、职称）桂志国教授申请学位级别工学硕士专业名称信号与信息处理论文提交日期2016年5月31日论文答辩日期2016年5月22日学位授予日期________年______月______日论文评阅人___________________________________________________________答辩委员会主席_______________________2016年5月31日 中北大学学位论文基于图像域统计迭代CT重建算法的研究摘要随着计算机断层扫描(CT)技术在医学诊断以及治疗中的广泛应用，人们越来越关注射线辐射剂量对人体的影响。高辐射剂量会对人体的健康带来一定的伤害，因此低剂量CT近年来备受关注。低剂量数据可以通过降低射线的管电压或管电流得到，此种方法常常会导致所采集的投影数据噪声偏高，使得密度分辨率被量子噪声污染，从而重建出来的图像发生严重退化，影响医学的诊断和治疗，因此，在降低辐射剂量的同时重建出高信噪比和高质量图像的研究越来越受到关注。许多有关低剂量CT的重建方法相继被提出，主要方法可分为以下三种，其一为图像的后处理，其二为对投影数据进行降噪，由于FBP算法简单且易于实现，对投影域降噪后一般使用FBP进行反投影重建，另一种方法为对重建后的图像在图像域直接进行降噪处理。在投影域降噪后，即使遗留下很小的点噪声，映射到图像域也会形成条形伪影，因此本文选择在图像域直接进行降噪。接下来将本文的主要工作介绍如下：1．阐述了CT成像物理和数学原理，介绍了三种经典图像重建算法，最后展现了本文所用的噪声模型。2.针对低剂量CT重建的图像产生严重退化的问题，在基于各向异性扩散去噪方法的基础上进行两种改进：由于片相似性在降噪的同时能较好地保持图像的边缘和细节信息，算法1运用此特点对扩散函数进行改进；算法2考虑了传统各向异性扩散中降噪不充分的缺点，把可以有效的折中热传导和PM模型的变指数，以及代替梯度检测边缘和细节的相似度函数运用到传统各向异性扩散中修改扩散函数，从而提高图像质量。3.提出了一种基于小波和四阶各向异性扩散的低剂量CT重建算法。由于小波变换具有良好的时频局部特性，四阶偏微分对噪声的敏感性高，噪声越少，降噪效果越好，可避免二阶PDE降噪出现的“阶梯”效应，本文结合了小波收缩和各向异性扩散的优点，在每次迭代中，对MLEM重建算法处理后的图像进行离散平稳小波分解，对小波域的高频部分进行小波收缩，低频部分使用降噪效果优质的四阶各向异性扩散进行消噪，从而得到可观的图像。 中北大学学位论文4.针对最大后验法只能提供有限的局部先验信息从而使重建图像出现阶梯状边缘伪影以及过度平滑等问题，提出本文的基于小波和非局部全变差中值先验的重建算法。即先在中值先验MP算法的基础上，引入降噪性能优异的TV方法，对目标函数进行修订，形成基于TV的MP重建算法；接着考虑到小波收缩和非局部的优势，提出了本文的算法，即在基于TV的MP重建算法的每次迭代中，在小波变换后的小波域再进行小波收缩和非局部降噪，提高了图像质量。关键词：低剂量CT，图像降噪，统计迭代重建，各向异性扩散，片相似性 中北大学学位论文TheResearchonStatisticalIterativeReconstructionAlgorithmforComputedTomographyBasedonImageDomainAbstractAscomputertomography(CT)technologyiswidelyusedinmedicaldiagnosisandtreatment,peoplepaymoreandmoreattentiontotheinfluenceofradiationdoseonhumanbody.Highdoseswouldbringcertainharmtopeople’shealth,thereforelowdoseCThasgainedmuchcurrencyinrecentyears.Lowdosedatacanobtainbyreducingtheraytubevoltageorcurrent.However,suchmethodresultsinheavynoiseinprojectiondata,andlowersthedensityresolutionbecauseofquantumnoise,sothatthereconstructedimageendsinseriousdegradation,affectingmedicaldiagnosisandtreatment.Sotheresearchonradiationdosereductionwhilereconstructingimageswithhighsignaltonoiseratioandhighqualityattractsmoreandmoreattention.Manymethodsaboutthelow-doseCTreconstructionhavebeenproposed,andcouldbemainlydividedintothefollowingthreetypes:oneistheimagepost-processing,andoneisdecliningnoiseexistinginprojectiondata.AstheFBPalgorithmissimpleandeasytoimplement,FBPprojectionreconstructionisoftenusedafterthenoisereductionoftheprojectiondata.Thethirdmethodisreconstructedimagede-noisingdirectlyinimagedomain.Afterthenoisesuppressioninprojectiondomain,eventhelittlespecklenoise,whenmappedtotheimagedomain,willleadtobarartifact.Givenalltheseconcerns,thispaperreducesthenoisedirectlyinimagedomain.Themainworkisasfollows:1.firstly,expoundthephysicalandmathematicalprinciplesoftheCTimaging,thenintroducethreeclassicalimagereconstructionalgorithms,andfinallyshowthenoisemodelusedinthispaper.2.Inviewofseriousdegradationofthelow-doseCTreconstructionimages,therearetwokindsofimprovedmethodsbasedontheanisotropicdiffusion:thefirstoneistoimprovethediffusionfunctionwithPatchSimilarity,whichcoulddeclinethenoisewhilemaintainingtheimageedgesanddetails.Consideringtheinsufficientnoisereductionoftraditionalanisotropicdiffusionalgorithm,anotheroneistointroducevariableexponentialandsimilarityfunctionintotraditionalanisotropicdiffusionalgorithmtoconstructthemodifieddiffusionfunction,thustoachievebetterimagequality.Forvariableexponentialcanreachagood 中北大学学位论文balancebetweenheattransferandPMmode,whilesimilarityfunctioncandetecttheedgeanddetailsinsteadofgradientmethod.Thusourmethodwillimprovetheimagequality.3.Anewlow-doseCTreconstructionalgorithmbasedonwaveletshrinkageandfourthorderanisotropicdiffusionhasbeenproposed.Becausewavelettransformhasagoodtime-frequencylocalfeatures,andfourthorderpartialdifferentialishighlysensitivetothenoise,andlessnoisewouldcontributetobetternoisereductionperformance,sothefourthorderpartialdifferentialcanavoidtheladdereffectofthesecondorderPDE.Inthepaper,waveletshrinkageandanisotropicdiffusionarecombinedtodecomposetheimagerebuiltbyMLEMreconstructionalgorithmwithdiscretestationarywaveletineachiteration.Thenitshighfrequencypartinwaveletdomainisprocessedwithwaveletshrinkage,whilelowfrequencypartwithfourth-orderanisotropicdiffusionwhichcaneffectivelysuppressthenoise.Soimagewithhighqualitycanbeobtained.4.TotalvariationMedianpriorreconstructionalgorithmbasedonwaveletandnonlocalmethodisputforwardtosolvetheproblemsofstepladderedgeandover-smoothnessinreconstructedimagebyMaximumAPosteriorwhichonlyprovideslocalpriorinformation.Firstly,onthebasisofthemedianpriorMPalgorithm,theTVmethod,whichhasanexcellentde-noisingperformance,isintroducedtorevisetheobjectivefunctiontoformMPreconstructionalgorithmbasedonTV.Thenconsideringtheadvantagesofwaveletshrinkageandnonlocalmethod,thealgorithminthispaperisproposed,which,ineachiterationoftheMPreconstructionalgorithmbasedonTV,adoptsthewaveletshrinkageandnonlocalnoisereductiontoprocesstheimageafterwavelettransforminthewaveletdomain,thusimprovingtheimagequality.Keywords:low-doseCT,imagenoisereduction,statisticaliterationreconstruction,anisotropicdiffusion,patchsimilarity 中北大学学位论文目录1．绪论1.1研究课题的背景和意义..............................................................................................11.2低剂量CT重建的国内外研究现状............................................................................21.3论文主要内容..............................................................................................................32．CT成像原理、噪声模型及经典图像重建算法2.1CT重建的物理原理.....................................................................................................52.2CT重建的数学原理.....................................................................................................62.2.1投影定理...........................................................................................................62.2.2中心切片定理...................................................................................................72.3CT重建经典算法.........................................................................................................82.3.1滤波反投影重建算法FBP................................................................................82.3.2代数重建算法.................................................................................................102.3.3统计迭代重建算法.........................................................................................122.4低剂量CT噪声模型..................................................................................................123．基于改进各向异性扩散的MLEM低剂量CT重建算法3.1MLEM重建方法...........................................................................................................143.2各向异性基本算法....................................................................................................143.3基于片相似性和MLEM的低剂量CT重建算法........................................................163.3.1基于片相似性的图像降噪算法.....................................................................163.3.2中值滤波.........................................................................................................173.3.3基于片相似性和MLEM的低剂量CT重建算法.............................................173.4基于变指数各向异性扩散和非局部的MLEM低剂量CT重建算法........................183.4.1基于变指数的自适应P-M算法.....................................................................183.4.2参数h进行自适应处理.................................................................................183.4.3非局部思想的引入.........................................................................................193.4.4本节改进各向异性扩散重建方法.................................................................203.5改进算法实验结果与分析........................................................................................20I 中北大学学位论文3.5.1重建图像比较.................................................................................................203.5.2重建精度比较.................................................................................................263.6本章小结....................................................................................................................294．基于小波和四阶各向异性扩散的MLEM低剂量CT重建算法4.1重建过程中的降噪方法............................................................................................304.1.1四阶偏微分方程去噪算法.............................................................................304.1.2小波变换.........................................................................................................314.2本章提出的重建算法................................................................................................324.3实验结果与分析........................................................................................................334.3.1重建图像比较.................................................................................................334.3.2重建精度分析.................................................................................................384.4本章小结....................................................................................................................415．基于小波和非局部的全变差中值先验重建算法5.1中值先验重建算法....................................................................................................425.2基于小波收缩和非局部的TV中值先验重建算法..................................................435.2.1基于TV的MP重建算法.................................................................................435.2.2基于小波收缩和非局部的TV中值先验重建算法.......................................445.3实验结果与分析........................................................................................................465.3.1重建图像比较.................................................................................................465.3.2重建精度分析.................................................................................................515.4本章小结....................................................................................................................546．总结与展望6.1工作总结....................................................................................................................556.2工作展望....................................................................................................................56参考文献................................................................................................................................58攻读硕士学位期间发表的论文及所取得的研究成果............................................65致谢II 中北大学学位论文1绪论1.1研究课题的背景和意义X射线计算机断层(computedtomography,CT)成像以其成像分辨率高的优点被广泛应用，然而由于高辐射剂量会对人体的健康带来一定的伤害，因此低剂量CT近年来备受关注。低剂量数据可以通过降低射线的管电压或管电流得到，此种方法常常会导致所采集的投影数据噪声偏高，使得密度分辨率被量子噪声污染，从而重建出的结果图会带有噪声，对医学的诊断和治疗方面产生很大的负面影响，故在降低辐射剂量的同时重建出高信噪比和高质量图像的研究越来越受到关注。CT技术已经在临床中得到广泛的认可，且已经被医学诊断进行了广泛的应用，在医学成像领域已然确立了不可动摇的地位。众所周知，在接受CT辐射时，一般正常的剂量对人身体来说是比较安全的；但是，如果X射线的照射剂量超过了正常值，就会出现辐射剂量累积效应，自然会对人体的机能造成损伤，甚至会威胁到生命安全，通过多项临床研究发现，辐射过高可能导致受检者余生遭受患癌的风险[1]，CT产生的放射剂量引起肿瘤的概率可能是所有肿瘤的1.5%-2.0%。因此进行计算机断层成像术检查时，在降低辐射剂量的同时重建出高信噪比和高质量图像的研究受到广泛关注。然而，在对进行计算机断层成像术检查时，在降低辐射剂量的同时将会使到达探测器探头的光子数目减少，从而使获得的投影数据伴随着较高的电子噪声，因此，传统的卷积反投影重建方法已然不能得到优质的图像。针对该问题，国内外学者尝试各种各样的研究来提高低剂量CT重建图像的质量，使其达到可观的效果。为了实现该研究，众多学者经历了长期的努力。如今，低剂量CT已经在许多临床方面被广泛研究，且被成功应用。其优势主要为以下几点：1、该法的安全性比较好。2、低剂量CT进行诊断的成本比较低。3、此诊断方法的特异性也很好。目前为止，低剂量CT的研究在不断的前进，是今后医学诊断技术中的重要发展趋势。1 中北大学学位论文1.2低剂量CT重建的国内外研究现状在1990年，低剂量CT的思想被首次提出[2]，在发表的论文中认为，若在扫描中其他参数不变，可以通过降低管电流来降低辐射剂量。在1995年，Mayo等发现[3]，管电流低于一定值时，图像质量会有比较严重的下降，文献[3]提出这个一定值是80毫安秒时。到目前为止的研究和探索中，针对以上低剂量产生的问题，主要解决办法可归于以下三种方式：其一是对重建后的带噪声图像进行后处理降噪。其二是对低剂量投影数据中噪声进行消除，之后用消去噪声的投影数据进行图像重建，从而得到比较清晰的结果。由于传统的滤波反投影算法（FilteredBackProjection，FBP）比较简单，且速度较快，故该类算法一般是利用低剂量投影数据的特点设计滤波算法，滤除噪声后再利用FBP进行重建，从而获得良好的CT图像质量。李凯旋[4]等使用了基于双边滤波的一种对权值进行更新的算法，对投影数据进行更新，有效的保持了图像细节。钱姗姗[5]等提出关于投影数据非单调性全变分恢复的低剂量CT重建方法。GuiZhiguo[6]等根据低剂量CT噪声的特性，提出一种模糊中值滤波器，用此对低剂量CT的投影数据进行降噪处理，从而提高图像的抗噪声性能。马建华[7]等通过将非局部的先验信息加入到投影数据中，再进行FBP重建，从而达到降噪的效果。ZhangQuan[8]等提出基于各向异性扩散的加权先验算法，对投影数据进行平滑。刘祎[9]等通过使用局部模糊熵判断细节和平滑区域，然后利用基于统计信息的各向异性滤波作用在投影数据中，从而得到高信噪比的恢复图像。高志凌[10]等通过利用隶属度函数改变权值，将模糊数学的理论引入到传统的投影域惩罚加权最小二乘法降噪（PWLS）算法中，提出一种基于模糊数学的改进的惩罚加权最小二乘降噪算法，使图像达到很好的效果。CuiXY[11]等运用基于最优估计改进的各向异性扩散系数的自适应平滑参数，提出一个新颖的正弦图降噪能量最小化的方法，从而改善了图像的质量。WangJing[12]等在投影域、K-L（Karhunen-Loeve）域和图像域中均使用惩罚加权最小二乘法（PenalizedWeightedLeast-Squares，PWLS）进行处理，获得了不错的图像。其三为在每次迭代中对重建后得到的图像进行图像域降噪。近年来随着低剂量的提出，许多主要针对图像域图像噪声处理的算法相继被提出，并且取得了令人满意的效果。Sauer和Liu通过对图像的局部噪声特性进行了分析，在文献[13]中设计出了非稳态滤波2 中北大学学位论文器。上述滤波器虽然有不错的去噪效果，却对细节信息保持不佳，而Rust等基于高斯滤波器提出一种新的非线性链，在每次迭代中对重建图像进行降噪处理，对细节有很好的保持[14]。王丽艳[15]等采用待重建图像稀疏性的先验信息作为正则项，泊松噪声的负对数似然函数作为保真项设计优化目标函数，从而达到去噪且保持细节的目的。LuiD[16]提出一种新颖的噪声补偿CT重建方法从而提高了重建图像的信噪比。Mallat在文献[17]中利用小波的优势，对图像采用多分辨分析理论进行降噪。ChenYang[18]等基于非局部提出一种自适应的加权先验算法，提高了图像的质量。Xu等[19]在每次重建迭代中，运用字典学习理论对目标函数进行优化，得到较为优质的重建结果。1.3论文主要内容计算机断层成像术降低辐射剂量之后，会导致图像衰退[20]，针对此问题，本文对基于图像域统计迭代算法进行了以下研究：第一章绪论。对所研究课题的背景和意义进行简单的介绍，接着回顾了课题的研究现状，然后总结了本论文主要内容及其结构安排。第二章CT成像原理、噪声模型及经典图像重建算法。简要介绍了CT重建的物理原理和数学原理，接着对CT重建的经典算法进行了简单回顾，最后分析了投影数据的统计噪声模型。第三章基于各向异性扩散提出了两种改进的的低剂量CT重建算法。简述了MLEM基本算法，以及阐述了各向异性的基本算法；其次在基于各向异性扩散的基础上进行了改进，提出了两种针对图像域低剂量CT的重建算法，一种基于片相似性各向异性扩散和MLEM的低剂量CT重建算法，另一种是基于变指数各向异性扩散和非局部的MLEM的低剂量CT重建算法。实验结果表明重建图像在平滑图像的同时较好的保持了图像的边缘和细节，改善了图像的信噪比，得到很好的效果。第四章基于小波和四阶各向异性扩散的低剂量CT重建算法。首先，简单介绍了重建过程中的降噪方法，包括小波和四阶的内容；其次，结合了以上降噪方法的优势提出了降噪能力更好，保持细节更优的本章算法；最后，从处理结果的视觉评价和客观指标评价等方面验证了本章所提出算法的有效性。3 中北大学学位论文第五章基于小波和非局部的全变差中值先验重建算法。首先，简要介绍中值先验重建算法；接着在中值先验MP算法的基础上，引入降噪性能优异的TV方法，对目标函数进行修订，形成基于TV的MP重建算法；由于结果依然会有一些块状伪影；最终提出了本章的算法，即在基于TV的MP重建算法的每次迭代中，在小波变换后的小波域再进行小波收缩和非局部降噪。实验结果表明，该算法改善了图像的质量，提高了图像的抗噪声性能，在主观效果和客观效果来看，均说明了该算法的可行性。第六章总结与展望。针对本文的优缺点进行总结，并对今后工作进行展望。4 中北大学学位论文2CT成像原理、噪声模型及经典图像重建算法2.1CT重建的物理原理首先介绍CT扫描基本的物理过程[21]，如下图2.1所示。把一个X射线源放在待测物的一端，X射线源可发出的X射线束细且笔直，置一定数量的探测器阵列于待测物的另一端，即X射线源的对面，探测器阵列是用来接收X射线发射出来的能量。图2.1CT扫描的示意图X射线成像的物理基础内容如下：第一，X射线有感光作用、穿透作用及荧光作用；第二，人体本身的组织结构有密度和厚度这两大差异。由于以上两点，当被测物体用两束强度一致的X射线穿透时，比如让一束X射线去照射密度均匀的物体，另一束去照射另一个不同密度的物体，即使如此，探测器得到的衰减系数也可能相等。当两束X射线得到的总衰减值相等时，探测器便不能有效对所求物体内部结构的小差异作出分辨。因此，若我们想得到目标物体组织内部中清晰的结构图，需找一个较为适合的物理参量，对不同密度的组织，所选的物理量须不同，如此才能分辨出组织的内部结构。比如被测物体均匀分布，把设为物体对X射线的线性衰减系数，根据Beer定理可知，若强度是I的X射线穿透x距离后，X射线强度衰减后得到I，则有如下：0xIIe0（2.1）或xln(I/I)0（2.2）物体一般不会整体均匀，常是分段均匀，设物体各段衰减系数对应为、、、…，1235 中北大学学位论文且对应的长度分别是x、x、x、…，其线性衰减的过程如图2.2：123I图2.2X射线强度的线性衰减可有公式（2.3）：xxxLln(I/I)（2.3）1122330接下来介绍一下如下的射线投影定义，通常，物体在xy平面都不会是均匀的，因此衰减系数是(x,y)，在某一方向沿某一路径L总衰减如式（2.4）：dlln(I/I)L0（2.4）在上式中，dl称作投影，显而易见投影常是对一组射线的集合。从式（2.4）可得若测出I和I的值，自然就可求出dl，接着可推导得到被积函数，的分布便为0相应的图像，以上即为X-CT成像的简要概念。2.2CT重建的数学原理2.2.1投影定理从上节分析可得，CT重建即为获取投影值。比如将某一二维函数fx,x沿着x轴122求积分，求得的结果便是一个如式（2.5）的一维函数。pxfx,xdx（2.5）x21122称为fx,x沿x轴方向的投影。122一般情况下，有以下数学定义：T令xx1,x2,...,xN是N维矢量，f(x)f(x1,x2,...,xN)是N维函数。取Tu[u,u,...,u]是新的坐标系。有如下关系：12NxuA（2.6）6 中北大学学位论文A为正交变换矩阵，则f(x)f(x1,x2,...,xN)在新坐标系(u1,u2,...,ui,uii,...,uN)下的投影为：pu,u,...,u,u,...,ufx,x,...,x,x,...,xdufuAdu（2.7）u112ii1N12ii1Nii坐标轴ui是垂直于超平面(u1,u2,...,ui,uii,...,uN)的轴，称作投影轴。当取N=2时，矩阵A如下cossinA（2.8）sincos是坐标轴(u,u)和(x,x)的夹角。1212图2.3投影轴角度如图2.3可称投影轴u和坐标轴x成角，方程式(2.5)表示以x为投影轴的投影。2222.2.2中心切片定理投影定理即是中心切片定理，它可以反映出投影数据、图像空间和图像频域之间的相互转换，因此是FBP重建算法的一个理论基础，三者间的关系如下图2.4所示。若图像f(x,y)在的投影角度时，对投影px做一维傅里叶变换，可获得f(x,y)r的二维傅里叶变换F(w1,w2)Fˆ(,)的一个切片，该切片与1轴相交为角，并且是通过坐标的原点的。即：F1pxrFˆ,2（2.9）arctg1x,y为旋转坐标，与x,y间有如下关系：rrxxcosysinr（2.10）yxsinysinr7 中北大学学位论文且、并非是相互独立的关系，二者之间的数量关系有2tg1：1212cos（2.11）2sin2图2.4中心切片定理经过以上分析，将重建问题整理总结为：（1）取相同间隔，采集不同视角下的投影（旋转角度大于等于180°）；（2）对在每一个角度下获得的投影做一维傅里叶变换；（3）由中心切片定理得到待重建图像的二维傅里叶变换；（4）对二维傅里叶变换进行反变换，求得待重建图像。2.3CT重建经典算法根据不同理论基础，CT重建图像的算法分成三类。2.3.1滤波反投影重建算法FBP反投影重建算法处理后得到的结果会生成条形伪影。重建后使得图像零密度像素赋了小灰度值，从而图像失真，因此产生了滤波反投影重建算法[22-24]。图2.5伪影的去除比如待建图像是(ax,y)，二维傅里叶变换是A(w,w)=Aˆ(,)。据中心切片定理，12有：8 中北大学学位论文A,A,FpxPP,（2.12）121ryrPxrxryryx,yx,yrr,rrxr0x图2.6坐标系统转换待建图像aˆr,ax,yF1A,1A,ei1x2ydd212212124Aˆ,ei2rcosddP,ei2rcosdd（2.13）00i2rcosdP,ed0公式的第二个积分，如下i2rcosed（2.14）写成关于变量x的傅里叶反变换：rei2rcosdei2xrdxrrcoshxpx,（2.15）rrxrrcosgrcos,式中gx,px,hx（2.16）rrr11而h(xr)F()，p(xr,)F1P(,)。将式(2.15)代入式(2.13)后，得9 中北大学学位论文aˆr,grcos,d（2.17）0上式表示：点（r,）的像素值为在0～范围内，对经过点（r,）的滤波后的射线投影值的累加。总结滤波反投影重建算法步骤：1.对在每一个投影角i下测得的投影值p(xr,i)进行滤波，取得修正后的投影(gx,)；ri2.将滤波修正后的投影(gx,)反投射到射线所经过的全部像素点（r,）；ri3.将得到的所有反投影值对所在0范围下进行累加，从而得到待重建图像。2.3.2代数重建算法FBP算法比较简单，但是有一个劣势，只有在完全投影数据下才能获得较优质的图像。而代数迭代重建[25-26]的优势在于，在投影数据不完全下，重建出的图像要优于FBP，其原理是对投影数据和重建图像建立方程组，每次迭代使用一个方程组[27]，即每次迭代只考虑一条射线的影响和贡献，通过一定次数的迭代，逐步去逼近所需求的图像。)0((k)其算法如下，预设一个初始图像x，x为每次更新的一个校正值。ARTⅡ（加型ART）满足线性不等式Rxp（2.18）其中p是所得投影，R是系统矩阵。设矢量x的维数为J，n为给定的J维矢量；q为实数。求x：iiTnxq1,iI（2.19）iiN1(iI)及N为矢量集合如下：iTNxnxqi（2.20）iiINNi（2.21）i1接下来用松弛法求解不等式（2.19），其方法：任设一初始值，再根据某一松弛法逐10 中北大学学位论文次迭代，即0x任意k,xnxqikik（2.22）k1Tkxkkqiknikx,其他x2niknik（k）式中，k是迭代序号，ik[k(modI)]1，即i0,1i12,...,iI1I,iI,1iI12,...。为松弛参数。取k02（2.23）12对于图像重建，式(2.18)可写成Trxp,i2,1,...,I（2.24）ii解为：0x任意k,Tkxrxpikik（2.25）k1Tkxkkpikrikx,其他x2rikrikkikkmodI1KIntI1（2.26）I式中k是迭代次数，Int表示取整。加权系数通常取值比较小，据多次实验验证，在0.025-0.25范围时，可得到满意的图像。TrxpiiTkrxikrikpikrikkxTrikrxkprTikikikrikrrrk1ikikikx图2.7ART算法示意图11 中北大学学位论文ART算法每次迭代计算量小，且简单容易实现，但该算法鲁棒性差且收敛速度缓慢。在此基础上学者的研究中，影响较大的算法[28]有：MART(multiplicativeART)、SART(simultaneousART)[29]、REART(RelaxedART)和BI-SART(blockiterativesimultaneousART)[30]算法等。2.3.3统计迭代重建算法统计迭代考虑了数据的统计特性，把待重建图像进行数学建模处理，实质上是解决优化求解问题：首先建立模型，把待重建图像令作待估计参数，建立目标能量函数，经过迭代求能量函数的最小值，这里待估计参数是待重建图像结果。此类算法的典型算法有最大似然ML(MaximumLikelihood,ML)法[31]、最大似然期望最大化MLEM(MaximumLikelihoodExpectationMaximumization,MLEM)算法、带惩罚加权最小二乘PWLS(PenalizedWeightedLeastSquare,PWLS)算法[32]、最大后验概率MAP算法。统计迭代重建算法的关键因素有投影数据的似然函数、统计模型和对约束重建过程的正则项或先验项。2.4低剂量CT噪声模型近年来，ElbakriEl[33]等认为探测器探测到的光子数近似符合含有零均值高斯噪声的Poisson分布。Li[34]等通过对多个体模进行反复实验和分析，最终得出低剂量CT投影数据经过对数变换后的均值和方差之间呈非线性递增关系，近似服从非平稳高斯分布的结论。2kexp(/T)，（2.27）iii其中，i2,1N表示探测器信道，N表示信道总数，表示第i个探测器获得投影数i2据的均值，表示第i个探测器获得投影数据的方差，k表示第i个探测器的参数，T表ii示用于描述扫描系统校准过程的系统参数，对于给定的CT采集系统，k与T是给定的。i12 中北大学学位论文3基于改进各向异性扩散的MLEM低剂量CT重建算法在进行计算机断层成像术（ComputerizedTomography，CT）检查时，由于高剂量的辐射会对人体的健康造成危害。因此，在低剂量下重建出高分辨率和低噪声的CT图像的研究越来越受到关注，但是由于获得的投影数据伴随着比较高的量子噪声，因此，传统的卷积反投影重建方法不能得到令人满意的图像。针对低剂量CT重建的图像产生严重退化的问题，本文选择在图像域直接进行降噪。自1990年Perona-Malik提出各向异性扩散模型（P-M模型）[35]以来，基于偏微分方程的图像降噪算法得到人们的广泛关注，P-M模型可以保留图像的细节和边缘，但会使图像降噪不充分。目前为止，研究者对统计各向异性扩散去噪方法进行了各种改进，如何在降噪的同时保持图像的边缘一直是学者的研究热点之一。文献[36]提出的基于片相似性的降噪算法可以在降噪的同时能较好地保持图像的边缘和细节信息，GuoZC[37]等对PM模型的扩散函数进行了改进，提出基于变指数的自适应图像降噪算法，受此启发，文献[38]中算法首先采用基本的MLEM算法对低剂量投影数据进行重建，由于片相似性可以在降噪的同时能较好地保持图像的边缘和细节信息，因此对重建后的图像使用基于非局部理论思想的片相似性降噪方法处理，由于低剂量投影数据还存在脉冲噪声点，故再使用中值滤波对图像进行处理；实验结果表明，所提出的算法能在光滑去噪的同时有效地保持图像的细节和边缘信息，即能有效的保持弱梯度和纹理，而且不存在各向异性扩散存在的明显阶梯效应。P-M模型可以保留图像的细节和边缘，但会使图像降噪不充分，而热传导模型会使图像过平滑，由于变指数的应用可以有效的折中PM和热传导这两种模型，从而自适应图像的平滑度，故本章提出的第二种算法为把基于变指数的各向异性扩散引用到低剂量的CT重建中；对这两种模型折中的判断需要对图像的边缘和细节进行检测，而传统的各向异性扩散利用梯度进行检测，即仅仅利用单个像素点的灰度相似性，不能达到满意的效果，本文受非局部算法思想的启发，用相似度函数代替梯度检测边缘和细节，且把模糊数学的理论引入，对传统的各向异性扩散中的阈值进行修正，从而达到所期望的效果；综上所述，本章提出的另一种低剂量重建算法为基于变指数和非局部的MLEM的低剂量CT重建算法[39]，通过实验验证表明，本算法重建出来的图像同样能在对图像进行降噪的同时很好的保持图像的边缘和细节信息。13 中北大学学位论文本章安排的内容总共分为4节：3.1节简单介绍了MLEM基本算法，3.2节阐述了各向异性的基本算法；3.3节则为本章提出的基于片相似性和MLEM的低剂量CT重建算法；3.4节则为本章提出的基于变指数和非局部的MLEM低剂量CT重建算法；3.5节进行实验结果与分析；3.6节进行本章小结。3.1MLEM重建方法MLEM算法由于在重建过程中既考虑了系统的物理模型，又考虑了观测数据的统计特性，重建出的图像要优于FBP重建出的图像，其重建公式如下式：k1fMagkjijifjMN，（3.1）ai1afk1ijilli1l1MM其中g为投影数据，在理想接收情况下，aij的值为1，这里取aij1。一定的迭代i1i1中，最大似然期望最大化算法可获得很好的待测图像，但在现实应用中，若噪声较大时，重建效果会出现棋盘效应，即随着迭代次数的增大，图像质量不会变好，反而更差，因此最大似然期望最大化算法变得非收敛性[40]。而本章提出的算法，可以解决最大似然期望最大化算法的这个缺点，得到优质图像。3.2各向异性基本算法1990年，Perona和Malik首次在各向同性扩散模型ux,y,tdivut（3.2）ux,y0,ux,y0的基础上提出各向异性扩散模型。该模型用梯度对图像进行边缘和细节检测，形成一种新的扩散系数；接着再将改进的扩散函数运用到降噪过程中，因此各向异性扩散的非线性偏微分方程降噪模型表示如下：ux,y,tdivguut（3.3）ux,y0,ux,y0其中，u(x,y,t)是图像u在像素点x,y处t时刻的像素值。u(x,y)是初始时刻的值。014 中北大学学位论文离散化形式如下：14iiux,yux,ycx,yux,y（3.4）t1ttt4i1其中，c(x,y)表示扩散系数函数。常见的扩散系数函数有：2cx,yguexpuh（3.5）111cx,ygu（3.6）2221u/h其中，h为梯度阈值，用以决定扩散强度，通常是常数。（a）扩散系数函数g1u（b）扩散系数函数g2u（c）流函数1u（d）流函数2u图3.1扩散系数函数与流函数随梯度模值的变化曲线uguu定义为流函数，该流函数描述扩散模型的扩散强度。本章选取（3.6）式的形式，则其扩散系数函数重写为：1cx,ygux,ytt21[uh]（3.7）其中，h为常量。当h较小时，平滑的强度将会削弱，因此弱边缘将会被保持，但阶梯效应出现的概率将会增大；当h较大时，平滑的强度将会增强，此时模型的去噪能力很强，但是图像的细节以及弱边缘将不能很好地被保持，但是此时不会产生阶梯效应。通过差15 中北大学学位论文分，各向异性扩散的离散形式为：t1tttttfx,yfx,ydtcNNfx,ycSSfx,ycEEfx,ycWWfx,y（3.8）N,S,E,W表示当前像素的四邻域。各向异性扩散去噪法，可以满足整幅图像中需要去噪的不同强度的需求，因此是一种自适应的去噪技术。该方法的原理是在图像的平滑区和边缘区自适应的增加和削弱平滑的强度从而保持图像的边缘区域，从而可以更好的在滤除噪声的同时抑制图像边缘的过平滑。3.3基于片相似性和MLEM的低剂量CT重建算法3.3.1基于片相似性的图像降噪算法目前为止，研究者对统计各向异性扩散去噪方法进行了各种改进，如何在降噪的同时保持图像的边缘一直是学者的研究热点之一。基于片相似性的降噪算法，可以在降噪的同时能较好地保持图像的边缘和细节信息，因此本章将其应用到低剂量CT重建中，其主要思想如下：I片S(x,y)是定义在图像I中的有序向量，该片是以(x，y)为中心，qq邻域中的所有2像素值排列成q维的列向量，其中邻域窗口的大小一般取奇数，本文选取q3的窗口，I图像片的定义S(x,y)如下式：ITS(x,y)I(xr,yr),,I(xr,yr)，（3.9）则基于片相似性的各向异性扩散方程的离散形式如下式：tttt1tftftffx,yfx,ydt(cNS(x,y)Nfx,ycSS(x,y)Sfx,ycES(x,y)（3.10）ttftEfx,ycWS(x,y)Wfx,y)其中：ttffcNS(x,y)cdNS(x,y)ttffcSS(x,y)cdSS(x,y)ttffcES(x,y)cdES(x,y)16 中北大学学位论文ttffcWS(x,y)cdWS(x,y)tttfffdNS(x,y)dS(x,y),S(x,1y)tttfffdSS(x,y)dS(x,y),S(x,1y)tttfffdES(x,y)dS(x,y),S(x,y)1tttfffdWS(x,y)dS(x,y),S(x,y)1tfff其中，cS(x,y)为扩散函数，dS(x,y),S(m,n)为相似性度量函数，其定义如下式：121q22dSf,SfSflSfl　。（3.11）(x,y)(m,n)2(x,y)(m,n)ql13.3.2中值滤波由于低剂量CT图像的噪声表现在图像上是一些噪声脉冲和条状伪影，在上述改进各向异性扩散的降噪方法中，梯度值比较小的像素块变得平滑，而周围边缘或噪声峰值处却没有变化[41]。当大梯度是被大噪声峰值所产生时，这些峰值可以被中值滤波有效的消除。然而，如果大梯度是被边缘所产生时，中值滤波器将不会影响他们。故在本章处理中，低噪声可以由扩散平滑，而脉冲噪声则由中值滤波器所移除。3.3.3基于片相似性和MLEM的低剂量CT重建算法根据上述分析，本章的具体重建算法如下：k1fMagkjiji1）fjMN，（3.12）i1k1aijailfli1l1在理想投影数据中加入式(2.27)，模拟为低剂量投影数据，用此数据进行以上MLEM算法重建。tttt1tftftffx,yfx,ydt(cNS(x,y)Nfx,ycSS(x,y)Sfx,ycES(x,y)2）（3.13）ttftEfx,ycWS(x,y)Wfx,y)接着使用片相似性各向异性扩散对上步重建后的图像进行降噪处理。17 中北大学学位论文n1n13）fi,jMedianfi,j,W，W是中值算子的窗口。（3.14）通过使用片相似性各向异性扩散对重建后的图像进行处理，使图像中由小噪声引起的小梯度区域被平滑，而大噪声峰值可以由中值滤波滤除。其中W使用33大小的窗口。4）重复以上步骤一定次数后，得到最终的重建图像。3.4基于变指数各向异性扩散和非局部的MLEM低剂量CT重建算法3.4.1基于变指数的自适应P-M算法传统的各向异性扩散可以有很好的去噪效果，且可保留一定的边缘和细节，但是仍会出现阶梯效应，从而使形状变形。因此研究者对传统各向异性扩散去噪方法进行了各种改进。与使图像降噪不充分的P-M模型相比，热传导模型可以有效去除噪声，但会使图像边缘模糊。针对此问题，GuoZC等在文献[37]中提出基于变指数的自适应图像降噪算法，对P-M模型中的扩散函数进行改进，改进公式如下：amcmexp（3.15）h其中：2aGf2（3.16）21kGf2由于aGf221kGf为增函数，当Gf0时，a00，此时对应的偏微分方程为热传导方程；当Gf时，aGf2，此时对应的偏微分方程为P-M方程。由以上分析可知，在重建图像的内部区域，采用扩散效果较好平滑强度较大的热传导方程，在边缘附近采用保持细节和边缘性能较好的P-M方程。3.4.2参数h进行自适应处理上述基于变指数的自适应图像降噪算法的效果虽然优于传统的P-M算法，但是由于式（3.15）中控制指数函数衰减关系的参数h为常量，使图像不具有满意的抗噪声性能，由于在低剂量CT投影数据中的噪声近似高斯噪声，故像素点的灰度值在一定范围内是18 中北大学学位论文具有一定的随机性和不确定性。模糊理论[42]在处理这类不确定问题上具有很好的效果，高志凌等在文献[43]中对扩散函数中的参数h进行自适应处理，改善了图像质量。本文隶属度选为：djnu(d)exp()，（3.17）jnu(d)jn，（3.18）jn上式为隶属度所构成的权值函数。其中，drr，表示中心像素点与邻域像素点jnjn的灰度值的差值。为尺度估计参数，用来描述d的变化程度，这里取d的均值：jnjnN1djn（3.19）N1n1受文献[43]的启发，阈值h的表达式采用下式：22hi,(j)（3.20）i,jx,y22其中，i,j为模糊数学中的一个隶属度函数所构成的权值函数，和为像素i,(j)i,jx,y和邻域像素x,y的方差。3.4.3非局部思想的引入对阈值h进行自适应处理的基于变指数的自适应降噪算法虽然可以解决低剂量CT的噪声问题，但由于只利用了梯度信息对边缘和细节进行检测，即仅仅利用单个像素点的灰度相似性，不能很好的保持纹理和弱边缘细节。Buades等[44]在2005年利用图像包含众多相似结构的特性，第一次提出非局部均值(NonlocalMeans,NLM)的思想。本文受其启发，用相似度函数代替梯度检测边缘和细节。该算法的基本思想[45-49]是在全局范围内搜索当前像素点所在图像块相应的相似块，然后进行加权平均达到去噪的目的。如像素k和j邻域的一种相似度测量为：wrVrV，（3.21）kj2其中，r表示离散化噪声图像，为某向量的模值；rVk和rVj为灰度值向量，19 中北大学学位论文即表示像素k和j周围的局部子块的像素集合。两者之间的相似性决定像素k和j之间的相似性。再受文献[37]和文献[43]的启发，把变指数和模糊数学理论引用到扩散函数中，从而对扩散函数进行了改进。改进后的扩散函数的表达式如下式：awc(w)exp。（3.22）h3.4.4本节改进各向异性扩散重建方法根据上述内容的分析，本章的重建算法如下：1）MLEM重建算法：k1fMagkjiji（3.23）fjMNi1k1aijailfli1l12）传统各向异性扩散的改进：awc(w)exp（3.24）ht1tttttfx,yfx,ydtcNNfx,ycSSfx,ycEEfx,ycWWfx,y（3.25）在每次重建迭代中，使用本章改进的各向异性扩散对上步重建后的图像进行降噪处理。3）对各向异性扩散处理后的脉冲噪声进行中值滤波处理：n1n1fMedianf,w，w是中值算子的窗口。（3.26）i,ji,j这里w取33的窗口。4）重复以上步骤一定次数后，得到最终的重建图像。3.5改进算法实验结果与分析3.5.1重建图像比较为了验证算法的有效性，本章采用Shepp-Logan体模作为实验模型进行低剂量CT图像重建的仿真，本文体模的大小使用128mm×128mm，实现本文算法的计算机操作系20 中北大学学位论文统为Windows7旗舰版32位SP1，处理器为英特尔酷2双核T6400@2.00GHz笔记本处理器，内存2G。图3.2为不同方法重建的图像。图3.2Shepp-Logan头部剖面图模型为了更好的比较细节，此处模型的大小选取128128。采用2.4节中Li等人提出的噪声模型对低剂量CT重建图像的噪声进行模拟：2kexp(/T)，（3.27）iii上式统计模型，给定的CT采集系统，k和T是已知的。i为了对低剂量CT投影数据的临床数据进行更好的模拟，经过大量和反复的实验对比之后，本章模型的参数选取如下：k=150，T=12000。图3.2仿真模型的低剂量投影图像i如图3.3所示。（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图3.3Shepp-Logan体模投影图像本章所提出的两种算法分别与MLEM(MaximumLikelihoodExpectationMaximization），BI-MLEM（BlockIterative-MaximumLikelihoodExpectationMaximization）[50]，ADF，基于方差算法[51]进行了比较。其中图3.4(a)为采用MLEM重建算法，图(b)采用BI-MLEM重建算法，图(c)使用ADF21 中北大学学位论文算法对图像域进行降噪，(d)使用基于方差算法对图像域进行降噪，(e)采用本章提出的算法1，(f)采用本章提出的算法2。(a)MLEM(b)BI-MLEM(c)ADF(d)基于方差算法(e)本章算法1(f)本章算法2图3.4各种算法的对比结果从图3.4(a)可知，传统MLEM重建算法的质量最差，噪声最为明显。图(b)把传统MLEM的算法分块进行处理，处理后去噪效果相比较传统的MLEM有了明显的效果，但是因其局限性，却依然存在大量伪影。图(c)把传统MLEM重建算法的每次迭代中对重建的图像进行基于ADF的去噪处理，因此重建的图像优于前两种算法，但是由于ADF本身的弱势，导致处理的图像过平滑，丢失了图像的细节。图(d)把传统MLEM重建算法的每次迭代中对重建的图像进行基于方差的去噪处理，由于基于方差的降噪算法考虑了图像灰度方差的信息，故可以对图像中灰度方差较小的噪声进行进一步处理，其重建结果优于图(c)，但是依然存在一些伪影。图(e)把传统MLEM重建算法的每次迭代中对重建的图像进行基于片相似的去噪处理，由于片相似性的加入能够在降噪的同时较好地保持图像的边缘和细节信息，因此得到的结果较之前算法满意。图(f)利用基于非局部的相似性测度以及变指数和模糊数学的理论对各向异性扩散函数进行改进，用改进后的各向异性扩散对每次迭代后的重建图像进行降噪，由于较本章算法1加入了折中热传导和PM这两种模型的变指数以及对扩散函数中的参数进行了自适应，因此处理结果更优。从图像中可以看出，22 中北大学学位论文本章的两种基于各向异性扩散的算法能在光滑去噪的同时有效地保持图像的细节和边缘信息，且不存在各向异性扩散存在的明显阶梯效应，重建效果优于其他算法。为了进一步验证本章算法的可行性，本章再选取大小为128128的胸腔模型[52]和数字骨盆体模进行实验，其模型如图3.5所示。（a）胸腔模型(b)数字骨盆体模模型图3.5体模模型对上图中体模模型的噪声模拟依然选用式（3.27）的关系式。其低剂量投影图像如下：（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图3.6胸腔体模投影图像（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图3.7数字骨盆体模投影图像比较算法仍然与Shepp-Logan头部剖面图模型进行实验的算法相同，处理结果如图3.8、图3.9。23 中北大学学位论文(a)MLEM(b)BI-MLEM(c)ADF(d)基于方差算法(e)本章算法1(f)本章算法2图3.8各种算法的对比结果(a)MLEM(b)BI-MLEM(c)ADF(d)基于方差算法(e)本章算法1(f)本章算法2图3.9各种算法的对比结果从图3.8(a)可知，传统MLEM重建算法的噪声很严重。图(b)处理后图像较图(a)有了明显的效果，却同样存在大量块状阴影。图(c)的图像过平滑。图(d)与图(c)相比清晰了24 中北大学学位论文很多，但依然存在一些伪影。图(e)和图(f)取得了较优质的图像。从图3.9视觉上分析，本模型实验结果与Shepp-Logan头部剖面图模型和胸腔体模模型进行的实验结果相吻合，由此可说明本章算法确实是有效和可行的。(a)MLEM(b)BI-MLEM(c)ADF(d)基于方差算法(e)本章算法1(f)本章算法2图3.10各种算法的对比结果放大图(a)MLEM(b)BI-MLEM(c)ADF(d)基于方差算法(e)本章算法1(f)本章算法2图3.11各种算法的对比结果放大图25 中北大学学位论文(a)MLEM(b)BI-MLEM(c)ADF(d)基于方差算法(e)本章算法1(f)本章算法2图3.12各种算法的对比结果放大图为了更清晰的对图3.4、图3.8、图3.9进行视觉上的分析，本章给出算法的结果局部放大图，如上图3.10、图3.11、图3.12。由此可较清晰的看到本章的两种算法的图像比其他算法更优质。3.5.2重建精度比较经过上节的实验研究和分析，可以看出本章算法的优越性，接下来使用下述指标对本章算法进行定量分析。其指标分别如下：（1）归一化均方误差（NormalizedMeanSquaredError，NMSE）:MNMN22NMSE(Fiqi)qi（3.28）i1i1（2）均方绝对误差（MeanAbsoluteError，MAE）:MNMAEFiqiMN（3.29）i1（3）归一化均方距离（NormalizedMeanSquareDistance，NMSD）:1MNMN222NMSD(Fiqi)(qimi)（3.30）i1i1（4）信噪比（SignaltoNoiseRatio，SNR）:26 中北大学学位论文MNMN22SNR10log10FiMiFiqi（3.31）i1i1其中，F和q分别表示重建图像与原始图像的第i个像素的灰度值，M和m分别iiii表示重建图像与原始图像的均值，M和N分别为图像的行数和列数。NMSE、MAE、NMSD这三个指标的值越小，代表重建图像越与真实图像接近；SNR的值越高，代表处理图像的质量越优。表3.1、表3.2、表3.3为本章算法与其他几种比较算法的量化评估数据。表3.1Shepp-Logan头部剖面图模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/sMLEM0.1515860.0897510.4893722.2059856.771087BI-MLEM0.1218830.0802350.4388153.63976751.531624ADF0.0534700.0494330.2906468.8064174.678024基于方差算法0.0692940.0558200.3308717.4199036.298290本章算法10.0283450.0283450.21161512.50508156.795603本章算法20.0251720.0259110.19941813.23076655.120998表3.2胸腔模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/sMLEM0.0867540.0547480.3648986.1709716.786218BI-MLEM0.0318860.0284480.22122212.07636952.374969ADF0.0328020.0256230.22437412.7290634.762398基于方差算法0.0383480.0308980.24260411.2829126.011511本章算法10.0276610.0220760.20604313.78145048.914982本章算法20.0273840.0210760.20500813.80313054.556739从表3.1、表3.2、表3.3可以看出，本章所提出的基于片相似性和MLEM的低剂量CT重建算法的信噪比高于其他比较算法，而其他指标值都小于其他算法。本章所提出的基于变指数各向异性扩散和非局部的MLEM低剂量CT重建算法的信噪比高于其他比较算法，而其他指标值都小于其他算法。该结论说明本章算法的重建图像与其他算法相比，更接近真实图像。虽然本章算法的运行时间比较其他算法略长，但是由于其效果的有效性完全可以弥补其时间上的不足，因此在定量评价方面，依然可以表明本章两种算27 中北大学学位论文法的优势。从以上三表中还可得到本章算法2的信噪比均高于本章算法1，而其他指标值均低于本章算法1，因此本章提出的算法2比算法1更优。表3.3数字骨盆体模模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/sMLEM0.0758340.0480630.3624466.4117756.837317BI-MLEM0.0310440.0291560.22240712.33313851.358200ADF0.0278720.0267810.21973413.2731504.824783基于方差算法0.0224010.0224990.19699113.5299236.348262本章算法10.0192400.0183400.19206013.80123758.901579本章算法20.0178840.0164930.18193113.92817249.113467图3.13给出了本章所用的Shepp-Logan模型的真实图像与各种比较算法重建图像的侧面轮廓线的比较图。从图中可以看出本章提出的两种基于各向异性扩散重建算法与真实图像是最吻合的，故本章算法可以较好的解决低剂量CT重建图像的噪声处理和图像细节边缘的保持问题。11原始图像灰度原始图像灰度0.9重建图像灰度0.9重建图像灰度0.80.80.70.70.60.6度值0.5度值0.5灰灰0.40.40.30.30.20.20.10.100020406080100120020406080100120第65行的像素第65行的像素（a）原始图和BI-MLEM算法图像剖面图（b）原始图和ADF算法图像剖面图11原始图像灰度原始图像灰度0.9重建图像灰度0.9重建图像灰度0.80.80.70.70.60.6度值0.5度值0.5灰灰0.40.40.30.30.20.20.10.100020406080100120020406080100120第65行的像素第65行的像素（c）原始图和基于方差算法图像剖面图（d）原始图和本章算法1图像剖面图28 中北大学学位论文1原始图像灰度0.9重建图像灰度0.80.70.6度值0.5灰0.40.30.20.10020406080100120第65行的像素（e）原始图和本章算法2图像剖面图图3.13头部剖面图模型原始图像与各种算法第128行侧面轮廓线的对比结果3.6本章小结本章在基于各向异性扩散的基础上进行了改进，提出了两种针对图像域低剂量CT的重建算法，一种基于片相似性各向异性扩散和MLEM的低剂量CT重建算法，该算法在每次使用最大似然期望最大法重建迭代过程中，均使用基于非局部理论思想的片相似性降噪方法对重建的图像进行低噪声平滑以及中值滤波对重建图像进行高噪声降噪，从而使结果较好的保持了重建图像的边缘和细节，通过与其他重建方法的仿真实验相比较，无论是从主观的视觉效果还是从客观的质量评价，均表明本算法能够有效地去除伪影等噪声以及可以有效的保持图像的细节信息，即本章提出的方法对低剂量CT图像重建有不错的效果。另一种是基于变指数各向异性扩散和非局部的MLEM的低剂量CT重建算法，在每次迭代中，该算法首先采用基本的MLEM算法对低剂量投影数据进行重建，然后对重建后的图像进行降噪处理，由于只利用梯度信息和常阈值参数h对边缘和细节进行检测，不能很好的保持纹理和弱边缘细节，故把基于非局部理论思想的相似性测量以及变指数和模糊数学理论引入到各向异性扩散的扩散函数中，在每次迭代中对重建后的图像进行降噪处理；由于各向异性扩散降噪技术对重建的图像进行处理仅可以平滑图像的小梯度区域，而相对于周围区域的大梯度区域则保持不变，故最后使用中值滤波对重建图像进行再次降噪，从而对重建图像在平滑图像的同时较好的保持了图像的边缘和细节，改善了图像的信噪比，得到很好的效果。29 中北大学学位论文4基于小波和四阶各向异性扩散的MLEM低剂量CT重建算法低剂量CT的成像技术被广泛应用。然而，低剂量CT重建会使图像质量发生明显的退化，为了解决上述问题,目前国内外学者尝试各种各样的处理方法来提高低剂量CT重建图像的质量，使其达到满意的效果。在低剂量计算机断层扫描（computedtomography,CT）重建算法中，传统的最大似然期望最大（MaximumLikelihoodExpectationMaximization,MLEM）算法随着迭代次数的增加会出现棋盘效应而不能有效的抑制噪声，基于各向异性扩散[53-56]的图像降噪方法由于能根据图像内容的不同采取不同的去噪强度，在平滑图像噪声的同时保持图像边缘和细节信息，故在图像处理领域获得了广泛的重视；小波分析[57]由于具有可进行时域和频域局部分析、可以灵活地提取图像的局部特征以及对图像进行多尺度分解的特点，同样被广泛的运用到图像处理领域，针对以上两者优势，许多研究者对此进行了结合[58-59]。本章结合了小波收缩和各向异性扩散的优点，在每次迭代中，对MLEM重建算法处理后的图像进行离散平稳小波分解，在小波域的高频部分进行小波收缩，低频部分使用降噪效果优质的四阶各向异性扩散进行消噪，最后残留的脉冲噪声点通过中值滤波器进行处理，从而进一步优化图像[60]。通过实验得出，该算法可以有效的去除低剂量CT图像的噪声，且在保持图像边缘和细节信息方面有很好的表现，从而获得具有高信噪比的图像。本章安排的内容总共分为4节：4.1节阐述了重建过程中的降噪方法；4.2节则为本章提出的基于小波和四阶各向异性扩散的MLEM低剂量CT重建算法；4.3节进行实验结果与分析；4.4节进行本章小结。4.1重建过程中的降噪方法4.1.1四阶偏微分方程去噪算法第三章中已经提到基于偏微分方程（PartialDifferentialEquation，PDE）的各向异性扩散的去噪方法。该方法的原理是在图像的低梯度区域增加平滑强度，而在图像的边缘位置降低平滑强度，因此PDE可以更好的在滤除噪声的同时抑制图像细节的过平滑。30 中北大学学位论文但是二阶PDE存在“阶梯”效应，因此后人提出了四阶PDE模型[61]，其表达式为：f22cfucff（4.1）t其中，f和f为图像梯度方向和切线方向的二阶导数，表达式如下：22fxxfx2fxfyfxyfyyfyf22（4.2）fxfy22fxxfy2fxfyfxyfyyfxf22（4.3）fxfy2kcf为扩散系数。由此可看出：图像边缘区域，f较大，cf较22kf小；图像平坦区域，f较小，cf较大。式（4.1）的离散化形式为n1nffdti,ji,jDcn2DfncnDfnDcn2DfncnDfnxxi,ji,ji,ji,jyyi,ji,ji,ji,j（4.4）4.1.2小波变换目前，图像降噪的方法有很多，由于小波降噪算法的优势，采用小波收缩[62]法可达到图像去噪的目的。2假设fk为观测信号，sk为原始信号，nk为均值为0方差为的噪声信号，则：nfksknkk=0,1,2…,N-1（4.5）对fk做离散小波变换，可得：wj,kwj,kwj,k（4.6）fsn其中，wj,k、wj,k和wj,k分别表示包含噪声信号、原始信号和噪声信号在第jfsn层上的小波系数。由式（4.6）可以看出，观测信号的小波系数wj,k，由原始信号小f波系数wj,k和噪声信号小波系数wj,k两部分组成。对包含噪声信号的小波系数，sn若它的值大于指定的阈值，则此系数为信号分量，予以保留；若其值小于阈值，则认为此系数为噪声分量，滤除这样的系数就可达到降噪效果。31 中北大学学位论文上述方法为小波阈值去噪，又称小波收缩[63]，它对小波系数进行统一处理，在最小均方误差下达到近似最优。和正交小波变换相比，平稳小波变换具有平移不变性而更适[64-65]j合用于图像的处理。因此本章选用平稳小波变换对图像进行处理。其中2为相应的尺度。4.2本章提出的重建算法由于小波变换具有良好的时频局部特性，小波变换之后，低频部分所含的噪声比较少；而大多数的噪声和边缘都在高频部分，且小波系数幅值在噪声处比较小，在边缘处比较大。而四阶偏微分对噪声的敏感性高，噪声越少，降噪效果越好；小波阈值收缩对处理此处高频噪声有很好的效果，故把四阶偏微分降噪用在低频进行处理，小波阈值用在高频处理是合适的。根据上述分析，本章的流程图如下：投影数据pMLEM重建算法高频低频成分离散平稳小波变换成分软阈值处理四阶各向异性扩散逆离散平稳小波变换中值滤波图4.1本章算法流程图本章的具体重建算法如下：（1）MLEM重建算法：k1fMagkjiji，(4.7)fjMNi1k1aijailfli1l1（2）小波收缩和四阶各向异性降噪处理：32 中北大学学位论文对每次迭代重建得到的数据进行小波变换，然后用软阈值处理高频系数[66]；用基于四阶各向异性扩散的降噪处理低频系数。所需公式如下：sgn()T,T(4.8),0Tt1tCACAdtx,yx,yn2nnnn2nnn(4.9)Dxxci,jDCAi,jci,jDCAi,jDyyci,jDCAi,jci,jDCAi,j其中，式（4.8）为软阈值收缩函数，表示含噪的小波系数，表示去噪后的小波系数，T为阈值，经过与其它几种常用的阈值做对比试验，证明本章选取的长度对数阈值效果最优且能达到令人满意的效果，故本章使用长度对数阈值，即对小波分解的高频小波系数按（4.8）进行处理，对低频部分按式（4.9）进行四阶各向异性扩散处理，最后进行平稳小波逆变换重构，得到优化后的离散图像。（3）进一步中值滤波处理：n1n1fi,jMedianfi,j,w(4.10)所取窗口太大，不仅会增加算法的运算量，而且会使图像过平滑，所取窗口太小，会达不到降噪的效果，经过反复试验，这里取w为33的窗口。（4）重复以上步骤，反复调试，最终的重建图像选取视觉效果最优的结果。4.3实验结果与分析4.3.1重建图像比较为了验证算法的有效性，本章采用Shepp-Logan体模作为实验模型进行低剂量CT图像重建的仿真，本章与MLEM（MaximumLikelihoodExpectationMaximization），BI-PLS（blockiteration-PenalizedLeastSquares），ADF，基于四阶算法进行了比较。体模的大小使用128mm×128mm，实现本文算法的计算机操作系统为Windows7旗舰版32位SP1，处理器为英特尔酷2双核T6400@2.00GHz笔记本处理器，内存2G。33 中北大学学位论文图4.2Shepp-Logan头部剖面图模型为了更好的比较细节，此处模型的大小选取128128。采用2.4节中Li等人提出的噪声模型对低剂量CT重建图像的噪声进行模拟：2kexp(/T)，（4.11）iii上式统计模型，给定的CT采集系统，k和T是已知的。为了对低剂量CT投影数据的临i床数据更好的模拟，经过大量和反复的实验对比之后，本章模型的参数选取如下：k=150，T=12000。图4.2仿真模型的低剂量投影图像如下图4.3所示。i（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图4.3Shepp-Logan体模投影图像图4.3为不同方法处理后得到的图像。其中图4.3(a)为原始图像。图(b)采用MLEM重建算法。图(c)采用BI-PLS重建算法。图(d)使用MLEM算法进行重建，然后在每次迭代后采用基于ADF的各向异性扩散对重建的图像进行图像域降噪。(e)使用MLEM算法进行重建，然后在每次迭代后采用基于四阶的各向异性扩散对重建的图像进行图像域降噪。(f)采用本章提出的算法。从结果图中可得，传统的MLEM重建算法效果最不好；BIPLS和基于ADF算法的结果图对图像进行了一定的去噪，同时也模糊了图像的边缘和细节；基于四阶的各向异性扩散降噪算法较BIPLS和基于ADF算法有了一定的改进，处理后的图像也比较清晰，但图像中依然有一些明显的块状阴影；而本章算法的处理图34 中北大学学位论文比基于四阶的各向异性扩散算法的结果更优质，既消除了噪声，又保持了细节，初步说明了本章算法的有效性。(a)Shepp-Logan体模(b)MLEM(c)BIPLS(d)ADF(e)基于四阶算法(f)本章算法图4.4各种算法的对比结果为了进一步验证本章算法的可行性，本章再选取大小为128128的胸腔模型和数字骨盆体模进行实验，其模型如图4.5所示。（a）胸腔模型(b)数字骨盆体模模型图4.5体模模型对上图中体模模型的噪声模拟依然选用式（4.11）的关系式。其低剂量投影图像如下图4.6、图4.7所示。35 中北大学学位论文（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图4.6胸腔体模投影图像（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图4.7数字骨盆体模投影图像比较算法仍然与Shepp-Logan头部剖面图模型进行实验的算法相同，处理图如下：(a)原图(b)MLEM(c)BIPLS(d)ADF(e)基于四阶算法(f)本章算法图4.8各种算法的对比结果从图4.8(b)可知，传统MLEM重建算法的噪声很严重。图(c)和图(d)处理后图像有了明显36 中北大学学位论文的效果，却模糊了图像的边缘和细节。图(e)可获得比较清晰的图像，但是图像中依然存在一些块状阴影。图(f)与图(e)相比消除了伪影，取得了较优质的图像。(a)原图(b)MLEM(c)BIPLS(d)ADF(e)基于四阶算法(f)本章算法图4.9各种算法的对比结果从图4.9视觉上分析，本模型实验结果与Shepp-Logan头部剖面图模型和胸腔体模模型进行的实验结果相吻合，由此可说明本章算法确实是有效和可行的。(a)MLEM(b)BIPLS(c)ADF(d)基于四阶算法(e)本章算法图4.10各种算法的对比结果放大图(a)MLEM(b)BIPLS(c)ADF37 中北大学学位论文(d)基于四阶算法(e)本章算法图4.11各种算法的对比结果放大图(a)MLEM(b)BIPLS(c)ADF(d)基于四阶算法(e)本章算法图4.12各种算法的对比结果放大图为了更清晰的对图4.4、图4.8、图4.9进行视觉上的分析，本章给出算法的结果局部放大图，如上图4.10、图4.11、图4.12。由此可较清晰的看到本章提出算法的处理图比其他算法更优质。4.3.2重建精度分析经过上节的实验研究和分析，可以看出本章算法的优越性，接下来使用下述指标对本章算法进行定量分析。其指标分别如下：（1）归一化均方误差（NormalizedMeanSquaredError，NMSE）:MNMN22NMSE(Fiqi)qi（4.12）i1i1（2）均方绝对误差（MeanAbsoluteError，MAE）:MNMAEFiqiMN（4.13）i138 中北大学学位论文（3）归一化均方距离（NormalizedMeanSquareDistance，NMSD）:1MNMN222NMSD(Fiqi)(qimi)（4.14）i1i1（4）信噪比（SignaltoNoiseRatio，SNR）:MNMN22SNR10log10FiMiFiqi（4.15）i1i1其中，F和q分别表示重建图像与原始图像的第i个像素的灰度值，M和m分别iiii表示重建图像与原始图像的均值，M和N分别为图像的行数和列数。NMSE、MAE、NMSD这三个指标的值越小，代表重建图像越与真实图像接近。SNR的值越高，代表处理后图像的质量越优。表4.1、表4.2、表4.3为本章算法与其他几种比较算法的量化评估数据。表4.1Shepp-Logan头部剖面图模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/sMLEM0.1515860.0897510.4893722.2059856.771087BIPLS0.0756860.0497280.3457947.56123893.070911ADF0.0534700.0494330.2906468.8064174.678024基于四阶算法0.0285720.0289130.23703012.48159413.113696本章算法0.0231530.0240260.19125513.65249922.842714表4.2胸腔模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/sMLEM0.0867540.0547480.3648986.1709716.786218BIPLS0.0438130.0329860.25931411.58793091.667419ADF0.0328020.0256230.22437412.7290634.762398基于四阶算法0.0299940.0242160.22804813.64943513.071441本章算法0.0263470.0210640.20109214.04331123.090185从表4.1、表4.2、表4.3可以看出，本章所提出的基于小波和四阶各向异性扩散的MLEM低剂量CT重建算法的信噪比高于其他比较算法，而其他指标值都小于其他算法。该结论说明本章算法的重建图像与其他算法相比，更接近真实图像。因此在定量评价方面，同样可以表明本章提出的算法在低剂量CT重建中是可行和有效的。39 中北大学学位论文表4.3数字骨盆体模模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/sMLEM0.0758340.0480630.3624466.4117756.837317BIPLS0.0453390.0341690.28025311.56878891.595856ADF0.0278720.0267810.21973413.2731504.824783基于四阶算法0.0224990.0233880.21487313.41332012.848366本章算法0.0176700.0161820.18087913.95530023.329716图4.13给出了本章所用的Shepp-Logan模型的真实图像与各种比较算法结果图的侧面轮廓线的比较图。图4.13显示出本章提出的基于小波收缩和四阶各向异性扩散的MLEM的低剂量CT重建算法的图像与真实图像是最吻合的，故本章算法可以较好的解决低剂量CT重建图像的噪声处理和图像细节边缘的保持问题。11原始图像灰度原始图像灰度0.90.9重建图像灰度重建图像灰度0.80.80.70.70.60.6度值0.5度值0.5灰灰0.40.40.30.30.20.20.10.100020406080100120020406080100120第65行的像素第65行的像素（a）原始图和BIPLS算法图像剖面图（b）原始图和ADF算法图像剖面图11原始图像灰度原始图像灰度0.90.9重建图像灰度重建图像灰度0.80.80.70.70.60.6度值0.5度值0.5灰灰0.40.40.30.30.20.20.10.100020406080100120020406080100120第65行的像素第65行的像素（c）原始图和基于四阶算法图像剖面图（d）原始图和本章算法图像剖面图图4.13头部剖面图模型原始图像与各种算法第128行侧面轮廓线的对比结果40 中北大学学位论文4.4本章小结本章针对传统的MLEM重建算法收敛速度慢，不能很好的控制噪声的问题，提出了一种基于小波收缩和四阶各向异性扩散的MLEM的低剂量CT重建算法。其中小波收缩可以在去除低剂量图像噪声的同时很好的保持图像的边缘和细节信息；基于四阶的各向异性扩散可以有效的判断图像的背景和边缘，然后进行不同程度的扩散；在低剂量CT重建中，小噪声可以由上述方法处理，而大噪声等脉冲噪声则可以利用中值滤波器去除。本章提出的算法结合了以上各种算法的优势，既有效的保持了图像的细节和边缘信息，又很好的解决了低剂量图像的噪声问题。实验结果表明，该算法在主观效果和客观效果来看，均说明本章算法是可行的。在临床中该算法可以提高低剂量CT重建图像的质量，使其达到满意的效果，使医生在患者接受较少的辐射剂量下便可进行良好的诊断和治疗。41 中北大学学位论文5基于小波和非局部的全变差中值先验重建算法低剂量CT投影数据噪声模型的数据特点已经被广泛的研究，第二章提到WangJ等人通过对多个体模进行反复实验和分析，最终得出低剂量CT投影数据经过对数变换后的均值和方差之间呈非线性递增关系，近似服从非平稳高斯分布的结论。针对投影数据统计特性的分析，由于最大似然期望最大算法（MLEM）在重建过程中考虑了观测数据的统计特性，故而被广泛的使用。然而在实际中，当迭代次数达到一定后，随着迭代次数的增多重建图像的质量会出现棋盘效应，从而造成图像退化。针对此退化，基于Bayesian的最大后验（MaximumAPosterior,MAP）法可以有效的解决上述问题[67]，该方法既考虑了低剂量CT投影数据的统计特性，又通过对先验分布加入先验信息，使进行多次迭代后仍可以很好地抑制噪声且克服MLEM重建算法收敛慢的缺点。MAP重建的思想是在传统的MLEM算法的基础上加入先验约束，从而达到所期望的目的[68]。但是传统的Bayesian法提供的先验信息是有限的，往往会使低剂量重建图像出现阶梯状伪影和过平滑现象[69]。本章算法从此问题出发对低剂量CT重建进行了进一步的研究。由于利用图像稀疏的先验知识能够在低剂量的条件下很好的重建图像，因此在不完备CT投影数据的重建过程中对得到的梯度图像求最小化的l范数，即运用全变差可以1改善低剂量CT重建图像的质量，该方法虽然提高了重建图像的抗噪声性能，但重建图像依然会出现图像边缘不清晰且存在着块状伪影的问题；小波收缩由于其很好的时频局部特性，可以在去除噪声的同时保持图像的边缘和细节信息，非局部也有很好的保持边缘细节能力，本章受其启发，提出一种基于小波收缩和非局部的TV中值先验重建算法[70]。该算法在每次迭代过程中，用基于TV的MP重建算法对低剂量投影数据直接进行重建，然后再通过小波变换用小波收缩和非局部对重建后的结果图进行处理。实验结果表明，本章算法明显的改善了图像的质量，同时图像的信噪比也得到了很好的提高。本章安排的内容总共分为4节：5.1节阐述了中值先验重建算法；5.2节则为本章提出的基于小波收缩和非局部的TV中值先验重建算法；5.3节进行实验结果与分析；5.4节进行本章小结。42 中北大学学位论文5.1中值先验重建算法Alenius等在1997年提出MRP(MedianRootPrior)算法。该算法具有边缘保持效果，其基本思想为把中值滤波器应用于重建中，最终使图像的像素值逐渐接近其邻域的中值[71]。但是由于该算法不是真正意义上的MAP算法，只是一种经验公式。直到2003年，Hsiao等在此基础上进行改进，提出的中值先验的目标函数如下式：f,margmin(yf)R(f,m)（5.1）f,m其中，yf为对数型的似然函数，Rf,m为一种新的先验分布的目标函数。y和f分别表示观测数据向量和图像向量，m是与f具有相同维数的辅助向量。先验分布的目标函数如下：Rf,mfm'（5.2）jkjjjj'Nj其中，为先验的势函数，Nj是像素j的邻域，jk是表示fj和辅助向量邻域像素mf'的相互作用的权值因子，当jN时，,1否则0。MP使用了绝对值势函数，即：jjkjkRf,m'fjmj'，辅助向量邻域像素mf'选取为mj'medianfj,w，w为中jjNj值算子的窗口大小。5.2基于小波收缩和非局部的TV中值先验重建算法5.2.1基于TV的MP重建算法由于MAP方法引入了图像的先验分布信息，将重建结果约束在正则空间，故改善了重建图像的质量，提高了图像的信噪比，在一定程度上保持了图像的细节信息[72]。但是基于传统的贝叶斯法只可提供有限先验信息，因此重建图像会过平滑且出现伪影。由于利用图像稀疏的先验知识能够在欠采样的条件下很好的重建图像。而将图像进行离散梯度变换可得到稀疏图像，对得到的梯度图像求最小化的l范数可以改善低剂量1CT重建图像的质量。而梯度的l范数即为所谓的全变差。受此启发，本章将全变差[73-75]1引入到MAP的目标函数中，从而提高图像的抗噪声性能，基于TV的MP重建算法的目标函数为：43 中北大学学位论文f,margmin(yf)R(f,m)0TV(f)（5.3）f,m其中，全变差(TotalVariation,TV)的连续形式为：TV(f)fx,ydxdy(ff)dxdy（5.4）1xy对于NM大小的图像，其离散形式为：TV(f)ffff。（5.5）j1jjMj1jM(N)1对目标函数进行求解可得k1fMaykjijifjk1k1N（5.6）MfjMTV(fj)i1k1aij0ailfli1Mfjl1k1其中：MMedian(f,W)，Median为中值滤波算子，W表示中值滤波器的窗口大小，j本文取33。为了使TV(f)求偏导数方便，且防止求偏导后为无穷大，把式（5.5）中的1范数j改用为2范数，并引入一个很小的参数。即式（5.5）改为如下：222TV(f)ffff（5.7）j1jjMj1jM(N)1则图像第j个元素f的TV偏导数为：jTV(f)fjfj1fjfjMfj1fjM2fjf222222222（5.8）jffffffffffffjj1j1Mj1jM1jMjjMj1jjMj5.2.2基于小波收缩和非局部的TV中值先验重建算法尽管基于TV的MP重建算法可得到较为优质的结果，但重建图像依然会出现边缘不清晰现象且存在着块状伪影，为了解决此不足，本章在基于TV的MP重建算法的基础上，提出了一种基于小波收缩和非局部的TV中值先验重建算法，从而进一步提高了重建图像的质量。44 中北大学学位论文小波阈值去噪又称小波收缩[76]，是在最小均方误差下达到近似最优时对小波系数进行统一处理。处理后，高频部分只集中了少部分能量，在文献[77]中提出噪声处的小波系数值小，边缘处值大，故用小波收缩处理图像可以得到令人满意的效果。和正交小波变换相比，平稳小波变换具有平移不变性从而更适合用于图像的处理[78-79]。因此本文选j用平稳小波变换对图像进行处理，其中2为相应的尺度。由此分析，本章对基于TV的MP重建算法的每次迭代中，再进行3级离散平稳小波分解，然后对集中较多噪声的高频部分进行小波收缩处理，对低频成分的处理选取可较好保持细节和边缘的方法，从而保证图像的细节信息。Buades等在2005年利用图像包含众多相似结构的特性，提出了一种非局部均值(NonlocalMeans,NLM)的图像去噪算法。该算法的基本思想是在全局范围内搜索当前像素点所在图像块相应的相似块，然后进行加权平均达到去噪的目的。其具体的计算方法如下：NLMi,(j)V(j)（5.9）1,(jid),(jid),(ji)exp(2),Zi)(exp(2)为归一化常数，参数h控制指数函数的衰减速Zi)(hjh度，其中di,(j)rVrV（5.10）ij2上式是以像素k、像素j为中心像素点的邻域内所有像素灰度值的加权Euclidean距离，它为像素i和像素j的邻域的一种相似度测量，其中，r表示离散化噪声图像，为某向量的模值；rV和rV为灰度值向量，即表示像素i和j周围的局部子块的像素集ij合。两者之间的相似性决定像素i和j之间的相似性。受其启发，本章选取非局部作为小波变换后低频成分的处理方法，实验表明该算法可以在降噪的同时有效的保持图像的边缘和细节，改善图像的信噪比，提高图像的抗噪声性能。通过上述的分析，本章具体重建算法如下：（1）基于TV的MP重建：45 中北大学学位论文k1fMaykjiji（5.11）fjk1k1NMfjMTV(fj)i1k1aailflij0i1Mfjl1k1其中，MMedian(f,W)，Median为中值滤波算子，W表示中值滤波器的窗口大小，j本章取33。（2）在基于TV的MP重建算法的每次迭代中进行小波收缩处理：对低频成分采用保持图像边缘和细节很好的非局部进行降噪：NLMi,(j)V(j)（5.12）对高频成分采用长度对数阈值的软阈值收缩，接着用平稳小波逆变换重构。（3）重复以上过程一定次数后，得到最终的重建图像。5.3实验结果与分析5.3.1重建图像比较本章实验所采用的软硬件环境如下：计算机操作系统为Windows7旗舰版32位SP1，处理器为英特尔酷2双核T6400@2.00GHz笔记本处理器，内存2G。算法编程环境：MATLAB7.6.0(R2008a)。首先选取的仿真模型是CT重建中经典的Shepp-Logan头部剖面图，如图5.1所示。图5.1Shepp-Logan头部剖面图模型为了更好的比较细节，此处模型的大小选取128128。采用2.4节中Li等人提出的噪声模型对低剂量CT重建图像的噪声进行模拟，其均值和方差符合如下关系：46 中北大学学位论文2kexp(/T)，（5.13）iii上式统计模型，给定的CT采集系统，k和T是已知的。为了对低剂量CT投影数据的临i床数据进行更好的模拟，经过大量和反复的实验对比之后，本章模型的参数选取如下：k=150，T=12000。图5.1仿真模型的低剂量投影图像如下图5.2所示。i（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图5.2Shepp-Logan体模投影图像本章与MLEM（MaximumLikelihoodExpectationMaximization），MRP（MedianRootPrior）以及增加噪声后本章算法的处理结果进行了比较。(a)原图(b)噪声150MLEM(c)噪声200MLEM(d)MRP(e)噪声150本章算法(f)噪声200本章算法图5.3各种算法的对比结果从图5.3(b)、(c)可知，传统MLEM重建算法的质量最差。图(d)MRP算法对图像进行不错的消除且可获得比较清晰的图像，但是图像中存在一些明显的块状阴影。图(e)添加与本47 中北大学学位论文文其他章节一致的噪声，不仅可以有效的解决低剂量CT图像的噪声问题，而且较好的保持了图像的边缘和细节信息，其重建结果优于图(d)。为了进一步检测本章算法的抗噪声性能，图(f)为继续加大噪声后本章算法的处理图，从上图可以观察到，在适当增大噪声之后，本章算法依然可以较好的对低剂量CT图像降噪和保持图像边缘细节信息进行折中。综上，本章算法的重建效果优于其他几种算法，初步说明本章算法是有效的。为了进一步验证本章算法的可行性，本章再选取大小为128128的胸腔模型和数字骨盆体模进行实验，其模型如图5.4所示。（a）胸腔模型(b)数字骨盆体模模型图5.4体模模型其低剂量投影图像如下图5.5、图5.6所示。（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图5.5胸腔体模投影图像（a）理想投影域图像(b)含噪投影域图像图5.6数字骨盆体模投影图像48 中北大学学位论文比较算法仍然与Shepp-Logan头部剖面图模型进行实验的算法相同，处理结果如图5.7、图5.8。(a)原图(b)噪声150MLEM(c)噪声200MLEM(d)MRP(e)噪声150本章算法(f)噪声200本章算法图5.7各种算法的对比结果从图5.7(b)、(c)可知，传统MLEM重建算法的噪声很严重。图(d)处理后图像有了明显的效果，却同样存在少量块状阴影。图(e)与图(d)相比消除了伪影，得到很好的结果。本章算法在增大噪声的结果图(f)依然可以取得较优质的图像。从下图5.8视觉上分析，本模型实验结果与Shepp-Logan头部剖面图模型和胸腔体模模型进行的实验结果相吻合，由此可说明本章算法确实是有效和可行的。(a)原图(b)噪声150MLEM(c)噪声200MLEM49 中北大学学位论文(d)MRP(e)噪声150本章算法(f)噪声200本章算法图5.8各种算法的对比结果为了更清晰的对图5.3、图5.7、图5.8进行视觉上的分析，本章给出算法的结果局部放大图，如图5.9、图5.10、图5.11。(a)噪声150MLEM(b)噪声200MLEM(c)MRP(d)噪声150本章算法(e)噪声200本章算法图5.9各种算法的对比结果放大图(a)噪声150MLEM(b)噪声200MLEM(c)MRP50 中北大学学位论文(d)噪声150本章算法(e)噪声200本章算法图5.10各种算法的对比结果放大图(a)噪声150MLEM(b)噪声200MLEM(c)MRP(d)噪声150本章算法(e)噪声200本章算法图5.11各种算法的对比结果放大图由此可较清晰的看到本章提出算法的图像比其他算法更优质。5.3.2重建精度分析从上述分析可以看出，本章提出算法的重建效果，即噪声去除能力与边缘保持能力都明显优于其他重建方法，为了更好的证明本章算法的有效性，采用以下指标等对其进行定量描述：（1）归一化均方误差（NormalizedMeanSquaredError，NMSE）：MNMN22NMSE(Fiqi)qi（5.14）i1i1（2）均方绝对误差（MeanAbsoluteError，MAE）：MNMAEFiqiMN（5.15）i1（3）归一化均方距离（NormalizedMeanSquareDistance，NMSD）：51 中北大学学位论文1MNMN222NMSD(Fiqi)(qimi)（5.16）i1i1（4）信噪比（SignaltoNoiseRatio，SNR）：MNMN22SNR10log10FiMiFiqi（5.17）i1i1其中，F和q分别表示重建图像与原始图像的第i个像素的灰度值，M和m分别iiii表示重建图像与原始图像的均值，M和N分别为图像的行数和列数。NMSE、MAE、NMSD这三个指标的值越小，代表重建图像越与真实图像接近。SNR的值越高，代表处理后图像的质量越优。表5.1、表5.2、表5.3为本章算法与其他几种比较算法的量化评估数据。表5.1Shepp-Logan头部剖面图模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/s噪声150MLEM0.1515860.0897510.4893722.2059856.771087噪声200MLEM0.1888740.0955250.5112242.0155977.172646MRP0.0285420.0316210.21235112.40221110.153940噪声150本章算法0.0255560.0257520.20240213.00651819.083872噪声200本章算法0.0269720.0259000.21120512.85117818.063951表5.2胸腔模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/s噪声150MLEM0.0867540.0547480.3648986.1709716.786218噪声200MLEM0.1206750.0651980.4303634.1870247.040816MRP0.0361260.0298990.30024712.78408410.201278噪声150本章算法0.0271170.0212900.20502413.81384518.197599噪声200本章算法0.0276190.0217410.20873913.56877618.382090从表5.1、表5.2、表5.3可以看出，本章算法的信噪比高于其他比较算法，而其他指标值都小于其他算法。该结论说明本章算法的重建图像与其他算法相比，更接近真实图像，因此在定量评价方面，同样可以表明本章提出的算法在低剂量CT重建中是可行和有效的。52 中北大学学位论文表5.3数字骨盆体模模型各种算法的客观评价NMSEMAENMSDSNR/dB运行时间/s噪声150MLEM0.0758340.0480630.3624466.4117756.837317噪声200MLEM0.1366340.0664810.4865102.7378477.122017MRP0.0407380.0275010.21953612.92893710.265283噪声150本章算法0.0187950.0180660.18502913.84589618.065943噪声200本章算法0.0195860.0194020.19189013.57536018.122513图5.12给出了本章所用的Shepp-Logan模型的真实图像与各种比较算法的侧面轮廓线的比较图。可看出本章的基于小波和非局部的全变差中值先验重建算法的图像与真实图像是最吻合的，故本章算法可以较好的解决低剂量CT重建图像的噪声处理和图像细节边缘的保持问题。11原始图像灰度原始图像灰度0.90.9重建图像灰度重建图像灰度0.80.80.70.70.60.6度值0.5度值0.5灰灰0.40.40.30.30.20.20.10.100020406080100120020406080100120第65行的像素第65行的像素（a）原始图和噪声200MLEM算法图像剖面图（b）原始图和MRP算法图像剖面图11原始图像灰度原始图像灰度0.9重建图像灰度0.9重建图像灰度0.80.80.70.70.60.6度值0.5度值0.5灰灰0.40.40.30.30.20.20.10.100020406080100120020406080100120第65行的像素第65行的像素（c）原始图和噪声150本章算法图像剖面图（d）原始图和噪声200本章算法图像剖面图图5.12头部剖面图模型原始图像与各种算法第128行侧面轮廓线的对比结果53 中北大学学位论文5.4本章小结本章提出了一种基于小波收缩和非局部的全变差中值先验重建算法。该算法先在中值先验MP算法的基础上，引入降噪性能优异的TV方法，对目标函数进行修订，形成基于TV的MP重建算法；该算法可以很好的改善图像的质量，但是依然会有一些块状伪影；小波收缩可以在去除噪声的同时较好的保持图像的细节信息，非局部也可以很好的保持图像的细节，结合这几种方法的优势，提出了本章的算法，即在基于TV的MP重建算法的每次迭代中，在小波变换后的小波域再进行小波收缩和非局部降噪。实验结果表明，该算法改善了图像的质量，提高了图像的抗噪声性能，在主观效果和客观效果来看，均说明了该算法的可行性。54 中北大学学位论文6总结与展望6.1工作总结随着公众自我健康意识的提高以及计算机断层扫描(CT)技术在医学中早期预测与防治的广泛应用，因此在不影响诊断质量的前提下，尽可能减少放射剂量越来越受到关注，但会使重建出的结果图带有噪声，从而对医学的诊断和治疗方面产生很大的负面影响，因此，在降低辐射剂量的同时重建出高质量图像的研究越来越受到重视。本文就是在此问题基础上，对图像成像算法方面做了一些研究工作，这里将概括本文所做的主要工作及其创新点：1．阐述了CT重建的物理原理和数学原理，最后对噪声模型进行了研究分析。2．针对低剂量CT重建的图像产生严重退化的问题，各向异性扩散模型可以保留图像的细节和边缘，本章从此入手对统计各向异性扩散去噪方法进行两种改进，提出两种基于改进的各向异性扩散的重建算法。即基于片相似性和MLEM的低剂量CT重建算法与基于变指数和非局部的MLEM的低剂量CT重建算法。算法1首先采用基本的MLEM算法对低剂量投影数据进行重建，然后运用片相似性在降噪的同时能较好地保持图像的边缘和细节信息的特点，将此运用到算法中修改扩散函数，用此来对每次迭代后的重建图像进行图像域的降噪处理。算法2考虑了传统各向异性扩散中降噪不充分的缺点，把可以有效的折中热传导和PM这两种模型的变指数，以及代替梯度检测边缘和细节的相似度函数运用到传统各向异性扩散中修改扩散函数，从而达到所期望的效果，接着文中还对此两种算法进行了对比。3．提出了一种基于小波和四阶各向异性扩散的MLEM低剂量CT重建算法。由于小波变换具有良好的时频局部特性，小波变换之后，低频部分所含的噪声比较少，噪声和边缘主要在高频，且噪声处的小波系数值比较小，在边缘处比较大。而二阶PDE降噪会出现“阶梯”效应，且四阶偏微分对噪声的敏感性高，噪声越少，降噪效果越好；小波阈值收缩对处理此处高频噪声有很好的效果，故把四阶偏微分降噪用在低频处理，小波阈值用在高频处理是合适的，因此本章算法结合了小波收缩和各向异性扩散的优点，在每次迭代中，对MLEM重建算法处理后的图像进行离散平稳小波分解，在小波55 中北大学学位论文域的高频部分进行小波收缩，低频部分使用降噪效果优质的四阶各向异性扩散进行消噪，最后残留的脉冲噪声点通过中值滤波器进行处理，从而进一步优化图像。4．针对最大后验法只能提供有限的局部先验信息，从而使重建图像出现阶梯状边缘伪影以及过度平滑等问题，提出了一种基于小波和非局部的全变差中值先验重建算法。该算法先在中值先验MP算法的基础上，引入降噪性能优异的TV方法，对目标函数进行修订，形成基于TV的MP重建算法；该算法可以很好的改善图像的质量，但是依然会有一些块状伪影；小波收缩可以在去除噪声的同时较好的保持图像的细节信息，非局部也可以很好的保持图像的细节，结合这几种方法的优势，提出了本章的算法，即在基于TV的MP重建算法的每次迭代中，在小波变换后的小波域再进行小波收缩和非局部降噪。5.本论文提出三章改进的算法。其中第三章是两种改进各向异性扩散算法的低剂量CT重建，第二种算法是在第一种算法的基础上改进的，经过主客观的分析可以得出第二种算法比第一种算法更优；第四章是把各向异性扩散和可以在时频域转换的小波结合起来的低剂量重建算法，由于小波系数在噪声处其值要小一些，在边缘细节处其值要大一些，因此用阈值法去除高频成分的噪声是合适的，经过主客观分析可得本章结合的算法要比第三章只使用各向异性扩散算法的效果更优；第五章是在第四章的基础上改进的，由于MLEM算法的棋盘效应，在其目标函数中加入先验信息，由于最大后验法可以较好的对图像进行降噪，却无法很好保持图像边缘细节，而图像稀疏先验可以达到所期望的效果，因此把全变差加到最大后验的目标函数中，为了检测该算法的有效性，这里的各向异性扩散不用第四章对小噪声敏感的四阶各向异性扩散，而用了无任何改进的简单的非局部，经过主客观分析以及增大噪声后本算法的处理结果分析，可得出本章算法有很好的抗噪声性能，这是之前所提算法都达不到的效果。6.2工作展望低剂量CT的成像技术是一个范围和内容都很宽广的研究主题。本文的研究内容仅仅是本研究主题的一小部分，在本领域研究中，还有许多是值得我们研究的方面。以下对本文的不足以及今后需要研究的方面进行总结：56 中北大学学位论文1.本文算法的研究只是基于低剂量CT的模拟噪声，与实际的低剂量CT噪声相比必然有一定差异。2.本文的研究所使用的是投影数据近似服从非平稳高斯分布的模拟噪声，近几年，有学者关于此部分知识提出近似服从复合泊松分布的新理论。因此，下一步可以对数据的噪声分布特性进行研究。3.对于算法中的迭代次数以及一些参数，都是根据经验，反复实验得到的最优值，这将给实际的临床应用带来麻烦，接下来的工作中将致力于研究如何对参数进行自适应调节和选择。4.本文所有算法的研究都是基于二维的低剂量CT算法的研究，因此推广到螺旋扫描以及三维CT成像技术，将是今后的一个研究方向。5.对于现有的大多数重建算法，尤其是迭代的算法，耗时长已然是限制临床应用的一大瓶颈。结合低剂量CT成像的特点，研究基于图形处理器GPU的并行计算技术可以提高算法的速度。这也是我们今后的一个研究方向。6.正则项、先验模型是统计重建算法的一个关键技术点，它们的探究也是今后的一个研究方向。57 中北大学学位论文参考文献[1]BindmanRS,LipsonJ,MarcusR.Radiationdoseassociatedwithcommoncomputedtomographyexaminationsandtheassociatedlifetimeattributableriskofcancer[J].JournalofVascularSurgery,2010,51(3):783-791.[2]NaidichDP,MarshallCH,GribbinC,etal.Low-doseCTofthelungs:preliminaryobservations[J].Radiology,1990,175(3):729-731.[3]MayoJR,HartmanTE,LeeKS,etal.CTofthechest:minimaltubecurrentrequiredforgoodimagequalitywiththeleastradiationdose[J].AJR,1995,164(3):603-607.[4]李凯旋,黄静,马建华,田玲玲,张华,路利军,陈武凡.低剂量CT重建中的双边滤波权值优化新方法[J].电路与系统学报,2012,17（2）：94-99.[5]钱姗姗，黄静，马建华，张华，刘楠，张喜乐，冯前进，陈武凡.基于投影数据非单调性全变分恢复的低剂量CT重建[J].电子学报,2011,39（7）：1702-1707.[6]GuiZG,LiuY.Noisereductionforlow-doseX-raycomputedtomographywithfuzzyfilter[J].Optik-InternationalJournalforLightandElectronOptics,2012,123(13):1207-1211.[7]马建华，黄静，陈阳，陈凌剑，陈武凡.基于广义Gibbs先验的低剂量X-CT优质重建研究[J].计算机工程与应用,2008,44(16):4-7.[8]ZhangQ,GuiZG,ChenY,etal.Bayesiansinogramsmoothingwithananisotropicdiffusionweightedpriorforlow-doseX-raycomputedtomography[J].Optik-InternationalJournalforLightandElectronOptics,2013,124(17):2811-2816.[9]刘祎，张权，桂志国.基于模糊熵的低剂量CT投影降噪算法研究[J].电子与信息学报,2013,35(6):1421-1427.[10]高志凌,刘祎,桂志国.基于模糊数学的低剂量CT投影域降噪算法[J].测试技术学报,2011,25(6):477-482.[11]CuiXY,ZhangQ,ShangguanH,etal.Theadaptivesinogramrestorationalgorithmbasedonanisotropicdiffusionbyenergyminimizationforlow-doseX-rayCT[J].Optik-InternationalJournalforLightandElectronOptics,2014,125(5):1694-1697.[12]WangJ,LiTF,LuHB,etal.PenalizedWeightedLeast-SquaresApproachtoSinogram58 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中北大学学位论文致谢在论文完成之际，我在中北大学七年的学习生涯也即将画上句号，首先要衷心地感谢我的指导老师桂志国教授，感谢导师桂志国教授对我的指导和帮助。从大四推免到桂老师实验室开始，无论从学术上还是在生活上，桂老师都给予了很多宝贵的意见和建议。在这三年多的学习生活中，桂老师找我定期检查我的学习成果，进而给出下一步研究的方向。桂老师严谨的治学态度，开阔的思维，诲人不倦的指导一直给我很大的帮助。当我对论文的思路感到迷茫时，您为我理清思路，指导我往一条比较清晰的思路上进行修改。在论文的不断修改中，我也努力做到及时积极地跟桂老师交流，因为我觉得这样可以使得我的论文更加完善。桂老师的教诲必将使我铭记，在此向我的导师桂志国教授表达最真挚的感谢。同时我要感谢课题组的张权老师，在实验室的几年生涯中，张老师帮助我解答了很多疑难问题。感谢刘祎、上官宏、白云蛟、何琳、李平等师兄师姐师妹在这三年中给予我的帮助，感谢朋友刘庆彰以及本届所有兄弟姐妹、宿舍姐妹的互相扶持，互帮互助，是你们给了我家一般的温暖，陪伴我度过了难忘的三年美好时光，这是我人生中最美好的回忆。还要感谢母校七年来对我的培养、为我提供了良好的平台，可以在这里成长向上。感谢国家自然科学基金资助项目（No.61071192、No.61271357），感谢国家重大科学仪器设备开发专项项目（No.2014YQ240445）对本论文的资助。感谢各位评委老师的辛苦指导。最后要感谢的是我的家人，我永远都不会忘记你们的良苦用心和一如既往的支持与鼓励，三年来，快乐的事情因为有你们的分享而更快乐，失意的日子因为有你们的关怀能忘却伤痛，坚强前行。无论我成功与否，你们总以鼓励的言语告诉我我做的很棒，谢谢你们，我会继续努力。66 巧那点．占ｉ；电－度ｉｒ；．－导一：ｖ一一Ｖ＾．．Ｖ．－、：．．乃４ＪＶＶ一．Ｖ．ｙ＇ｖ：Ｖ一：；二女：／－．，■．＇ｖ．ｒｉ－Ｗｌ；