《Lyapunov稳定性》PPT课件

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1、现代控制理论§5Lyapunov稳定性稳定性回顾与准备知识李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）（四川理工学院自动化教研室2009-4-11）ModernControlTheory渐近状态观测器Review渐进性要求（A-HC）的特征根具有负实部。状态观测器的直接设计步骤已知系统∑(A,B,C)，设计观测器的步骤是：1、判断系统的能观性。能观则一定可以设计全维状态观测器。2、根据期望的观测器极点位置，计算期望的观测器特征多项式3、计算观测器的特征多项式det[sI-(A-

2、HC)]4、比较系数，得到增益矩阵HReview带观测器的闭环系统原系统方程观测器方程状态反馈闭环系统方程为Review带观测器闭环系统的状态变换原闭环系统方程为Review状态变换后闭环系统方程带观测器闭环系统的属性闭环系统方程的特征多项式为闭环极点由两部分组成：直接状态反馈(A-BK)的极点，状态观测器(A-HC)的极点。只要系统是能控能观的，状态反馈的任意极点配置与观测器的任意极点配置可以分别独立进行。传递函数中发生了零极点相消。系统不再保持完全能控，其能控部分为∑(A-BK，B，C)。Review系统运

3、动的稳定性稳定性回顾与准备知识李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）稳定与不稳定Review临界稳定全局稳定（大范围稳定）不稳定局部稳定对于线性系统，局部稳定全局稳定Review全局稳定、局部稳定、不稳定正常工作要求系统是稳定的系统总会受到内部或外部因素的影响，例如负载、能源波动、系统参数变化、环境条件改变等。我们关心：稳定的平衡点、不稳定的平衡点和稳定区域（全局、局部）单摆小球Review正定函数令V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包含原点的封闭有限区域。如果对于

4、S中的所有x，都有：（1）V(x)对x中各个分量有连续的偏导数；（2）V(0)=0;（3）若x≠0时，V(x)>0(V(x)≥0)。则称V(x)是正定的（正半定的）。如果条件（3）中的符号反向，则称V(x)是负定的（负半定的）。若可正可负，则称不定的。Example二次型函数塞尔维斯特（Sylvester）定理当上式中的P是对称矩阵时，V(x)为正定的充分必要条件是P的各阶主子行列式都是正的。如果P的所有主子行列式为非负的（其中有0），那么V(x)是半正定的。如果-V(x)是正定的（半正定的），则V(x)将是负

5、定的（负半定的）。Example[解]二次型V(x)可以写为应用塞尔维斯特定理可知V(x)是正定的，此时也称矩阵P是正定的。欧几里德(Euclid)范数欧氏范数（向量x的标量函数）：性质：（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：系统运动的稳定性稳定性回顾与准备知识李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）李雅普诺夫（Lyapunov）1892年，博士论文TheGeneralProblemoftheStabilityofMotion提出了为当今广为应用且影响巨大的李亚普诺

6、夫方法，已成为当今自动控制理论课程讲授的主要内容之一。适用于单变量、线性、非线性、定常、时变、多变量等系统。李雅普诺夫稳定性理论简介主要内容稳定性的基本概念李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第二方法LTI系统渐近稳定性判别法基本要求正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定性概念理解李氏第一法，李氏第二法掌握线性系统渐近稳定性分析方法自治系统及平衡状态零输入系统（自治系统）[例1]一线性定常系统的平衡态平衡状态[例2]非线性系统的平衡态令，可以得到三个平衡状态孤立的平衡状态孤立平衡状态：在某一

7、平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。这说明，对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。所以，一般考虑平衡状态在原点处即可。如果对给定的任一正实数ε，都对应地存在一个正实数δ(ε,t0)，使得从不等式稳定性的定义若状态方程在初始时刻t0初始状态x0的解x(t;x0,t0)满足存在性和唯一性，则称此解为系统的受扰运动。限制的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式（超球域）则称平衡态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。渐进稳定性如果平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，并且对于δ

8、(ε,t0)和任意给定正数μ，对应地存在正实数T(μ,δ,t0)，使得由不等式的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式则称平衡态xe在李雅普诺夫意义下是渐进稳定的。若实数T和δ都不依赖于t0，则称一致渐进稳定。若δ范围很大，甚至充满整个空间，则称系统是大范围渐进稳定的。不稳定如果对给定的任一正实数ε，和任意一个无论多么小的正实数δ，在超球域S(δ)内始终存在状态x0使得从该状态开始的受