chap4+高级Lyapunov稳定性理论课件.ppt

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1、第4章高级Lyapunov稳定性理论4.1非自治系统的稳定性概念4.2非自治系统的稳定性分析4.3基于Barbalat引理的稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity一、平衡点如果系统的状态x*满足则称其为系统的一个平衡点。4.1非自治系统的稳定性概念第4章高级稳定性理论对非自治非线性系统非自治系统可能不存在平衡点。对不存在平衡点的非自治系统不能用Lyapunov稳定性理论进行分析。SchoolofElectricalEngineering,Zheng

2、zhouUniversity例4.1考虑非线性系统4.1非自治系统的稳定性概念系统有一个平衡点0。对系统系统没有平衡点。二、非自治系统的稳定性定义4.1平衡点x=0在t0称为稳定的，如果任意给定R>0，总存在r(R,t0)>0使得当

3、

4、x(t0)

5、

6、

7、

8、x(t)

9、

10、0)。否则称为不稳定平衡点。SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity定义4.2平衡点x=0在t0是渐近稳定的，如果1、它是稳定的；2、r(t0)>0，使得当

11、

12、x(t0)

13、

14、

15、

16、

17、x(t)

18、

19、0，t。定义4.3平衡点x=0是指数稳定的，如果存在正数α,λ使得对充分小的x(t0)，有定义4.4平衡点x=0是全局指数稳定的，如果对任意x(t0)，有x0，t。例4.2非线性系统4.1非自治系统的稳定性概念稳定渐近稳定指数稳定SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity它的解为三、一致稳定性(Uniformstability)定义4.5平衡点x=0是局部一致稳定的，如果可以选择定义4.1中的标量r与t0无关，即r=r(R

20、)。定义4.6平衡点x=0局部一致渐近稳定的，如果1、它是一致稳定的；2、存在与t0无关的r>0，使得当

21、

22、x(t0)

23、

24、

25、函数和具有无穷大上界的函数定义4.7标量时变函数V(x,t)是局部正定的，如果V(0,t)=0且存在时不变正定函数V0(x)使得定义4.8标量时变函数V(x,t)具有无穷大上界，如果V(0,t)=0且存在时不变正定函数V1(x)使得第4章高级稳定性理论SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity例4.4下面时变函数是否正定，是否具有无穷大上界。该函数是正定的，控制函数也具有无穷大上界，控制函数二、非自治系统的Lyapunov定理定理4.1如果在平衡点0的邻域BR0

26、内存在具有连续偏导数的标量函数V(x,t)使得(1)V是正定的；(2)是负半定的。那么平衡点在Lyapunov意义下稳定。4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity如果条件(1)(2)满足并且(3)V具有无穷大上界。那么平衡点一致稳定。如果条件(2)加强为负定，则平衡点一致渐近稳定。如果球BR0用全空间代替，且满足条件(1)、加强条件(2)、条件(3)以及(4)V(x,t)是径向无界的。则平衡点全局一致渐近稳定。4.2

27、非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity例4.5考察下面时变系统选择标量函数该函数正定，且具有无穷大上界。同时负定。故平衡点全局渐近稳定。4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity定义4.9称连续函数:R+R+为K类函数，如果引理4.1函数V(x,t)是局部（或全局）正定的，当且仅当存在一个K类函数，使得对t0，

28、xBR0（或全状态空间），有V(0,t)=0及4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析是不减的。函数V(x,t)具有局部（或全局）无穷大上界，当且仅当存在K类函数，使得对t0，xBR0（或全状态空间），有V(0,t)=0及SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity定