ch5.解析函数的孤立奇点,留数定理

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1、第五章第五章留数及其应用留数及其应用§5.1解析函数的孤立奇点§5.2留数与留数定理§5.3留数定理在计算实积分中的应用第一节解析函数的孤立奇点1.1孤立奇点及其分类孤立奇点：如果函数f(z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域0

2、孤立奇点分为三类.（1）可去奇点（2）极点（3）本性奇点（1）可去奇点定义5.1如果f(z)在0

3、)在z0的洛朗级数无负幂项，则z0为f(z)的可去奇点.（2）判断极限若limfz()存在，且为有限值.z→z0sinz例1因为在0

4、(−z0))+c2((z−z0))+⋯((m≥1,c−m≠0))那么称孤立奇点z0为f(z)的m级极点.−m2fz()=(z−z)⎡c+c(z−z)+c(z−z)+⋯⎤,0⎣−m−m+10−m+20⎦nm+令gz()=c−m+c−m+1(z−z0)+⋯+czn(−zn)+⋯,则g(z)在z−z0<δ内解析，且gz()0=c−m≠0,即1fz()=mgz()lim()fz=∞,即limfz()=+∞,((z−z))z→z0z→z00极点的判定（1）用定义去判定−m−2−1fz()=c−m(z−z0)+⋯+c−2(z−z0)+c−1(z−z0)2+c0+cz1((−z0))+c2

5、((z−z0))+⋯((m≥1,c−m≠0))（2）由等价形式判别在点z的某去心邻域内有−m0fz()=(z−z)gz()(m≥1),0其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)≠0.（3）判断极限lim()fz=∞,即limfz()=+∞,z→z0z→z0z−2例2　考虑函数fz()=23,gz(())=sinz.(z+1)(z−1)z2极点的阶数不能只从函数表面形式来看.（3）本性奇点定义5.3如果f(z)在0

6、+⋯++⋯0((

7、zz((−1))的一级零点.3z=1是fz(())=zz((−1))的三级零点.零点的判定：例4求以下函数的零点.3(1)fz()=z−1;2()fz()=sinz零点与极点的关系：定理5.21例5函数有什么奇点，如果是极点，指出它的级.sinzze−1例6问z=0是2的二级极点吗？zshz思考：z=0是的几级极点？3z1.3函数在无穷远点的性态定义5.5若函数f(z)在无穷远点z=∞的去心邻域�U(∞=){{z0