解析函数的孤立奇点与留数课件.ppt

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1、解析函数的孤立奇点与留数留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。一.孤立奇点及其分类:1.定义若f(z)在z0不解析,但在z0的某一去心邻域0<

2、zz0

3、<内解析,则称z0为f(z)的孤立奇点.由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味着在z0的某个领域里只有z0一个奇点。并非所有的奇点都孤立，例如：1).若无负幂项,则称z0为f(z)的可去奇点；2).若只有有限个负幂项,则称z0为f(z)的极点；若c-m0,而cn=0(n<-m),则称z0为f(z)的m级极点,2.分类由L

4、aurent级数中负幂项的个数来分类设z0为f(z)的孤立奇点,则f(z)在0<

5、zz0

6、<内解析，Laurent展式为3).若有无穷多个负幂项,则称z0为f(z)的本性奇点。判别：(1)如果z0为f(z)的可去奇点,(2)z0为f(z)的极点(3)z0为f(z)的本性奇点：z0为f(z)的m级极点c-m为有限复常数;二.零点与极点的关系(1)定义:若解析函数f(z)能表示成f(z)=(zz0)m(z),其中(z0)0,且(z)在z0处解析,m为某一正整数,则称z0为f(z)的m级零点.(2)性质(a)如果

7、f(z)在z0处解析,那么z0为f(z)的m级零点f(n)(z0)=0(n=0,1,2,…,m1),f(m)(z0)0.(b)z0为f(z)的m级极点z0为的m级零点.例1求下列函数的奇点，并指出其类型：三.函数在无穷远点的性态(1)分类:则称为f(z)的孤立奇点.令t=1/z,则t=0是(t)=f(1/t)的孤立奇点.我们规定:若t=0是(t)=f(1/t)的可去奇点(m级极点,本性奇点),则称z=是f(z)的可去奇点(m级极点,本性奇点).若f(z)在z=的去心邻域R<

8、z

9、<+内解析,(2)判定若

10、f(z)在R<

11、z

12、<+内解析,则在此圆环内有(*)关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。例2.z=是的可去奇点.z=是g(z)=(z1)(z2)=z23z+2的二级极点.四.留数内，f(z)的Laurent展式为:设z0为f(z)的孤立奇点,在z0的去心邻域无穷远点处的留数留数计算法：2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可当作级数为m来计算。这是因为表达式的系数中可能有一个或几个为零而已，这不影响证

13、明结果。例3求下列函数的奇点并计算留数：例如：0<

14、z1

15、<+,所以z=1是f(z)的本性奇点,且Res[f(z),1]=c-1=0.思考：可去奇点留数是否必为零？留数为零的(有限远奇点)是否一定是可去奇点？函数以为可去奇点,但c-1=1,故Res[f(z),]=10.五.留数定理设函数f(z)在区域D内除去有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外处处解析,L是D内包围诸奇点的任意一条逆时针简单闭曲线,则由复合闭路定理,可得留数定理1利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数

16、。如果函数f(z)在扩充复平面内除去有限个孤立奇点外处处解析,那么f(z)在所有奇点(包括点)的留数的总和等于零.留数定理2利用留数计算复积分例4.计算L为圆周

17、z

18、=2,取逆时针方向.例5.(1)计算积分n为正整数.六.用留数计算某些实积分其中R(cosx,sinx)为cosx,sinx的有理函数.其中zk(k=1,2,…,n)为f(z)在

19、z

20、<1内的孤立奇点.例6.计算其中a>0且a1.注:若R(cosx,sinx)为x的偶函数,则仍然可令z=eix,将化为单位圆周上的积分.例7.应用留数计算实积分例8.计算积分

21、例13.计算积分(m>0).例14.计算积分