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1、#学习与探索#斜率弹性与垄断的边际收益*潘金霞王则柯摘要:在垄断一种商品的情形,企业的平均收益曲线与市场的需求曲线重合,它们互为反函数。一个广泛应用的事实是:如果平均收益曲线下降并且不太弯的话,那么边际收益曲线与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降,并且处处下降得比平均收益曲线快。本文引入平均收益曲线AR(y)对于供量y的斜率弹性的概念,给出上述事实的证明。关键词:垄断下降的需求曲线边际收益曲线斜率弹性一、市场需求曲线与平均收益曲线重合世界经济文汇经济学大量对付的是一元实函数。我们在数学里习惯的一元实函数,都以横轴2004第2期为自变量,以纵轴为
2、因变量。但是起源于马歇尔(AlfredMarshall,1842)1924),在经济78学里面有时候却恰恰相反,以纵轴为自变量,横轴为因变量。典型的是某种商品的需求曲线和供应曲线,商品的价格P决定商品的需求量或供应量Q,但是价格P总是放在纵轴,相应的需求量和供应量Q则放在横轴。大家知道,函数描述的变量关系是不能颠倒的。以需求曲线D为例,如果误需求量Q为自变量、价格P为因变量,将导致/对商品的需求量Q越大则商品的市场价格P越低0的谬误。可是,经济学里面也有许多重要的曲线,仍然是以横轴为自变量、以纵轴为因变量,例如成本曲线、销售收入曲线、生产函数等
3、等。面对这种混杂的情况,一个自然的想法,是将经济学中的函数和图像都/改正0并且统一为数学里面那样,以横轴为自变量、纵轴为因变量。的确有人这样做过。问题是标准的经济学著作都不接受这样的统一。原来,混杂有混杂的好处。典型的例子,是混杂使用可以得到/垄断企业面对的市场需求曲线D和该垄断企业的平均销售收益曲线AR重合0的好处。本来,垄断企业面对的市场需求D和该垄断企业的平均销售收益AR互为反函数,现在因为/混杂0使用,互为反函数的关系轻易地表现为相应的曲线重合。这是垄断理论许多重要讨论的出发点。二、边际收益比平均收益下降得快在垄断的情形,微观经济学关于
4、企业利润最大化产量决策的讨论,除了企业的平均收益曲线与市场的需求曲线重合这个事实以外,另外一个广泛应用的事实是:如果平均收益曲线AR下降并且不太弯的话,那么边际收益曲线MR与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降,并且处处下降得比平均收益曲线快。例如,见(Mas-colell,Whinston&Green,1995,p386)的图。但是在标准的教科书中,这个事实并没有得到应有的说明和论证。最接近的描*中山大学岭南学院。通信地址:510275广州中山大学岭南学院;Email:wangzk@lingnan.net。本文为国家自然科学基金资助课题的研究成
5、果,批准号:10131030。WORLDECONOMICFORUM述,是(M.L.Katz&H.S.Rosen,1998,p415)图13.2的说明文字:边际收益曲线总是在与需求曲线重合的平均收益曲线下方,只有在开始的地方它们重合。多数教科书只是叙述线性情形的命题或者再辅以证明:如果平均收益曲线AR是下降的直线,那么边际收益曲线MR是与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降的直线,但是下降速度快一倍。世界经济文汇2004第2期79图1事实上,我们可以形成并且证明如下更一般的命题。命题:在企业垄断一种商品的情形,如果(与市场需求曲线D重合的)企业平均
6、收益曲线AR下降并且不太弯的话,那么边际收益曲线MR与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降,并且处处下降得比平均收益曲线快。标准的证明:记AR(y)=f(y),y是产量或者供量。据设,我们有fc(y)<0,其中fc(y)表示f(y)的一阶导数。这时候,企业的销售收益为R(y)=AR(y)y=f(y)y,从而边际收益为MR(y)=d(f(y)y)/dy=f(y)+ydf(y)/dy=f(y)+yfc(y)。至此,我们已经知道:MR(0)=AR(0),即边际收益曲线与平均收益曲线从纵轴上的同一点出发;但是对于y>0,我们有MR(y)7、说在所有其他地方,边际收益曲线位于平均收益曲线下方。为了完成命题的证明,现在考虑MR(y)的斜率MRc(y)和AR(y)的斜率ARc(y)的关系。计算表明,MRc(y)=d(MR(y))/dy=d(f(y)+yfc(y))/dy=fc(y)+fc(y)+yfd(y)=ARc(y)+fc(y)+yfd(y),从而MRc(y)-ARc(y)=fc(y)+yfd(y),其中fd(y)表示f(y)的二阶导数。大家知道,平面曲线的弯曲程度,由曲线的曲率J=
8、fd(y)
9、/[1+(fc(y))2]3/2量度,如见(华罗庚,1963,pp.124-125)。
10、曲线/不太弯0,要求
11、fd(y)
12、比较小,这就可以做到fc(y)+yfd(y)<0,从而我们有MRc(y)
